2004年全国高中数学联赛试题及解析 苏教版

用心 爱心 专心1 20042004 年全国高中数学联赛试卷年全国高中数学联赛试卷 第一试 一 选择题 本题满分 36 分 每小题 6 分 1 设锐角 使关于x的方程x2 4xcos cos 0 有重根 则 的弧度数为 A B 或 C 或 D 6 12 5 12 6 5 12 12 2 已知M x y x2 2y2 3 N x y y mx b 若对于所有的m R R 均有M N 则b的取值 范围是 A B C D 3 不等式 logx3 2 0 的解集为 log2x 1 1 2 A 2 3 B 2 3 C 2 4 D 2 4 4 设点O在 ABC的内部 且有 2 3 则 ABC的面积与 AOC的面积的比为 OA OB OC 0 A 2 B C 3 D 3 2 5 3 5 设三位数n 若以a b c为三条边长可以构成一个等腰 含等边 三角形 则这样的三位数n abc 有 A 45 个 B 81 个 C 165 个 D 216 个 6 顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形 A是底面圆周上的点 B是底面 圆内的点 O为底面圆圆心 AB OB 垂足为B OH PB 垂足为H 且PA 4 C为 PA的中点 则当三棱锥O HPC的体积最大时 OB的长为 A B C D 二 填空题 本题满分 54 分 每小题 9 分 7 在平面直角坐标系xOy中 函数f x asinax cosax a 0 在一个最小正周期长的区间上的图像与 函数g x 的图像所围成的封闭图形的面积是 a2 1 8 设函数f R R R R 满足f 0 1 且对任意x y R R 都有f xy 1 f x f y f y x 2 则f x 9 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 二面角A BD1 A1的度数是 10 设p是给定的奇质数 正整数k使得也是一个正整数 则k k2 pk 11 已知数列a0 a1 a2 an 满足关系式 3 an 1 6 an 18 且 a0 3 则的值是 n i 0 1 ai 12 在平面直角坐标系xOy中 给定两点M 1 2 和N 1 4 点P在x轴上移动 当 MPN取最大 值时 点P的横坐标为 三 解答题 本题满分 60 分 每小题 20 分 A B P O H C B1 A1 B C D A C1 D1 用心 爱心 专心2 13 一项 过关游戏 规则规定 在第n关要抛掷一颗骰子n次 如果这n次抛掷所出现的点数的和 大于 2n 则算过关 问 某人在这项游戏中最多能过几关 他连过前三关的概率是多少 14 在平面直角坐标系xOy中 给定三点A 0 B 1 0 C 1 0 点P到直线BC的距离是该 4 3 点到直线AB AC距离的等比中项 求点P的轨迹方程 若直线L经过 ABC的内心 设为D 且与P点轨迹恰好有 3 个公共点 求L的斜率k的取值范 围 15 已知 是方程 4x2 4tx 1 0 t R R 的两个不等实根 函数f x 的定义域为 2x t x2 1 求g t maxf x minf x 证明 对于ui 0 i 1 2 3 若 sinu1 sinu2 sinu3 1 则 2 an 1 4 n N N 证明有n0 N N 使得对 n n0 都有 n 2004 b2 b1 b3 b2 bn bn 1 bn 1 bn 三 本题满分 50 分 对于整数n 4 求出最小的整数f n 使得对于任何正整数m 集合 m m 1 m n 1 的任一个f n 元子集中 均至少有 3 个两两互素的元素 EF B C D A G H K 用心 爱心 专心3 2004 年全国高中数学联赛试卷 第一试 一 选择题 本题满分 36 分 每小题 6 分 1 设锐角 使关于x的方程x2 4xcos cot 0 有重根 则 的弧度数为 A B 或 C 或 D 6 12 5 12 6 5 12 12 解 由方程有重根 故 4cos2 cot 0 1 4 0 0 的解集为 log2x 1 1 2 1 2 A 2 3 B 2 3 C 2 4 D 2 4 解 令 log2x t 1 时 t 2 t 1 2 x 2 4 选C t 1 3 2 4 设点O在 ABC的内部 且有 2 3 则 ABC的面积与 AOC的面积的比为 OA OB OC 0 A 2 B C 3 D 3 2 5 3 解 如图 设 AOC S 则 OC1D 3S OB1D OB1C1 3S AOB OBD 1 5S OBC 0 5S ABC 3S 选C 5 设三位数n 若以a b c为三条边长可以构成一个等腰 含等边 三角 abc 形 则这样的三位数n有 A 45 个 B 81 个 C 165 个 D 216 个 解 等边三角形共 9 个 等腰但不等边三角形 取两个不同数码 设为a b 有 36 种取法 以小数为底时总能构成等腰三 角形 而以大数为底时 b a0 在一个最小正周期长的区间上的图像与 函数g x 的图像所围成的封闭图形的面积是 a2 1 解 f x sin ax 周期 取长为 宽为 2的矩形 由对称性知 面积之 a2 1 2 a 2 aa2 1 半即为所求 故填 2 aa2 1 又解 1 sin ax dx 1 sint dt 1 0a2 1 2p aa2 1 8 设函数f R R R R 满足f 0 1 且对任意x y R R 都有f xy 1 f x f y f y x 2 则f x 解 令x y 0 得 f 1 1 1 0 2 f 1 2 令y 1 得f x 1 2f x 2 x 2 即f x 1 2f x x 又 f yx 1 f y f x f x y 2 令y 1 代入 得f x 1 2f x f x 1 2 即f x 1 f x 1 比较 得 f x x 1 9 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 二面角A BD1 A1的度数是 解 设AB 1 作A1M BD1 AN BD1 则BN BD1 AB2 BN D1M NM A1M AN AA12 A1M2 MN2 NA2 2A1M NAcos 12 2 cos cos 2 3 2 3 1 3 2 3 1 2 60 10 设p是给定的奇质数 正整数k使得也是一个正整数 则k k2 pk M N B1 A1 B C D A C1 D1 用心 爱心 专心5 解 设 n 则 k 2 n2 2k p 2n 2k p 2n p2 k p 1 2 k2 pk p 2 p2 4 1 4 11 已知数列a0 a1 a2 an 满足关系式 3 an 1 6 an 18 且a0 3 则的值是 n i 0 1 ai 解 令bn 得b0 bn 2bn 1 bn 2n 即 1 an 1 2 an 1 3 1 an 1 3 2 3 2 3 2n 2 n 3 1 an 2n 1 1 3 n i 0 1 ai 1 3 12 在平面直角坐标系xOy中 给定两点M 1 2 和N 1 4 点P在x轴上移动 当 MPN取最大 值时 点P的横坐标为 解 当 MPN最大时 MNP与x轴相切于点P 否则 MNP与x 轴交于PQ 则线段PQ上的点P 使 MP N更大 于是 延长NM交x 轴于K 3 0 有KM KN KP2 KP 4 P 1 0 7 0 但 1 0 处 MNP的半径小 从而点P的横坐标 1 三 解答题 本题满分 60 分 每小题 20 分 13 一项 过关游戏 规则规定 在第n关要抛掷一颗骰子n次 如果这n次抛掷所出现的点数的和大于 2n 则算过关 问 某人在这项游戏中最多能过几关 他连过前三关的概率是多少 解 设他能过n关 则第n关掷n次 至多得 6n点 由 6n 2n 知 n 4 即最多能过 4 关 要求他第一关时掷 1 次的点数 2 第二关时掷 2 次的点数和 4 第三关时掷 3 次的点数和 8 第一关过关的概率 4 6 2 3 第二关过关的基本事件有 62种 不能过关的基本事件有为不等式 x y 4 的正整数解的个数 有C个 2 4 亦可枚举计数 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 计 6 种 过关的概率 1 6 62 5 6 第三关的基本事件有 63种 不能过关的基本事件为方程x y z 8 的正整数解的总数 可连写 8 个 1 从 8 个空档中选 3 个空档的方法为C 56 种 不能过关的概率 能过关的概率 3 8 8 7 6 3 2 1 56 63 7 27 20 27 连过三关的概率 2 3 5 6 20 27 100 243 14 在平面直角坐标系xOy中 给定三点A 0 B 1 0 C 1 0 点P到直线BC的距离是该 4 3 点到直线AB AC距离的等比中项 求点P的轨迹方程 若直线L经过 ABC的内心 设为D 且与P点轨迹恰好有 3 个公共点 求L的斜率k的取值范围 解 设点P的坐标为 x y AB方程 1 4x 3y 4 0 x 1 3y 4 M N P K O x y D 1 1 1 BC A y x OK P 用心 爱心 专心6 BC方程 y 0 AC方程 4x 3y 4 0 25 y 2 4x 3y 4 4x 3y 4 25y2 16x2 3y 4 2 0 16x2 16y2 24y 16 0 2x2 2y2 3y 2 0 或 25y2 16x2 3y 4 2 0 16x2 34y2 24y 16 0 8x2 17y2 12y 8 0 所求轨迹为圆 2x2 2y2 3y 2 0 或双曲线 8x2 17y2 12y 8 0 但应去掉点 1 0 与 1 0 ABC的内心D 0 经过D的直线为x 0 或y kx 1 2 1 2 a 直线x 0 与圆 有两个交点 与双曲线 没有交点 b k 0 时 直线y 与圆 切于点 0 与双曲线 交于 即k 0 满足要求 1 2 1 2 5 82 1 2 c k 时 直线 与圆只有 1 个公共点 与双曲线 也至多有 1 个公共点 故舍去 1 2 c k 0 时 k 时 直线 与圆有 2 个公共点 以 代入 得 8 17k2 x2 5kx 0 1 2 25 4 当 8 17k2 0 或 5k 2 25 8 17k2 0 即得k 与k 所求k值的取值范围为 0 15 已知 是方程 4x2 4tx 1 0 t R R 的两个不等实根 函数f x 的定义域为 2x t x2 1 求g t maxf x minf x 证明 对于ui 0 i 1 2 3 若 sinu1 sinu2 sinu3 1 则 2 1 g tanu1 1 g tanu2 1 g tanu3 解 t 故 0 当x1 x2 时 1 4 f x 而当x 时 x2 xt 2 x2 1 2x 2x t x2 1 2 2 x2 xt 2 x2 1 2 0 即f x 在 上单调增 g t 2 t 2 1 2 t 2 1 2 t 2 1 2 t 2 1 2 1 2 1 t 2 2 2 2 2 2 1 g tanu 8secu 2sec2u 3 16sec2u 9 16 24cos2u 16cosu 9cos3u 16 3 9 cos2u1 cos2u2 cos2u3 1 g tanu1 1 g tanu2 1 g tanu3 75 9 sin2u1 sin2u2 sin2u3 用心 爱心 专心7 而 sin2u1 sin2u2 sin2u3 2 即 9 sin2u1 sin2u2 sin2u3 3 1 3 sinu1 sinu2 sinu3 3 75 3 由于等号不能同时成立 故得证 1 g tanu1 1 g tanu2 1 g tanu3 用心 爱心 专心8 二试题 一 本题满分 50 分 在锐角三角形ABC中 AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H 以DE为直径 的圆分别交AB AC于F G两点 FG与AH相交于点K 已知BC 25 BD 20 BE 7 求AK的长 解 BC 25 BD 20 BE 7 CE 24 CD 15 AC BD CE AB AC AB 6 5 BD AC CE AB B E D C共圆 AC AC 15 AB AB 7 AB AB 15 AB AB 18 6 5 6 5 AB 25 AC 30 AE 18 AD 15 DE AC 15 1 2 延长AH交BC于P 则AP BC AP BC AC BD AP 24 连DF 则DF AB AE DE DF AB AF AE 9 1 2 D E F G共圆 AFG ADE ABC AFG ABC AK AK AP AF AB 9 24 25 216 25 二 本题满分 50 分 在平面直角坐标系XOY中 y轴正半轴上的点列 An 与曲线y x 0 上的点 2x 列 Bn 满足 OAn OBn 直线AnBn在x轴上的截距为an 点Bn的横坐标为bn n N N 1 n 证明an an 1 4 n N N 证明有n0 N N 使得对 n n0 都有 0 1 n2bn 1 n 0 bn 且bn递减 n2bn n n 单调增 1 2n2n2 1 0 n且tn单调减 bn2 由截距式方程知 1 1 2n2bn n2bn2 bn an an 2 tn2 tn tn 2 2 4 22 1 22 1 2 且由于tn单调减 知 an单调减 即an an 1 4 成立 亦可由 bn 2 得 an bn 2 1 n2bnbn 22bn 2 由bn递减知an递减 且an 0 2 4 22 24 18 7 25 20 15 EF B C D A G H K P 用心 爱心 专心9 即证 1 2004 n k 1 bk 1 bk 1 k2 2 2 bk 1 bk bk bk 1 bk 1 k 1 k 1 2k 1 k 1 2 2k 1 k 1 2 1 2 1 k 2 1 n k 1 bk 1 bk n k 1 1 k 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 2 1 2 1 2 只要n足够大 就有 1 2004 成立 n k 1 bk 1 bk 三 本题满分 50 分 对于整数n 4 求出最小的整数f n 使得对于任何正整数m 集合 m m 1 m n 1 的任一个f n 元子集中 均至少有 3 个两两互素的元素 解 当n 4 时 对集合M m n m m 1 m n 1 当m为奇数时 m m 1 m 2 互质 当m为偶数时 m 1 m 2 m 3 互质 即M的子集M中存在 3 个 两两互质的元素 故f n 存在且f n n 取集合Tn t 2 t或 3 t t n 1 则T为M 2 n 2 3 n 1 的一个子集 且其中任 3 个数无 不能两两互质 故f n card T 1 但 card T 故f n 1 n 1 2 n 1 3 n 1 6 n 1 2 n 1 3 n 1 6 由 与 得 f 4 4 f 5 5 5 f