人教A版必修2 2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件（28张）.ppt

2 3直线 平面垂直的判定及其性质2 3 1直线与平面垂直的判定 目标定位1 理解直线与平面垂直的定义 2 掌握直线与平面垂直的判定定理 3 理解直线与平面所成的角的概念 并能解决简单的线面角问题 1 直线与平面垂直的有关概念 自主预习 1 定义 如果直线l与平面 内的 一条直线都垂直 我们就说直线l与平面 互相垂直 记作 2 相关概念 若直线l与平面 垂直 其中直线l叫做平面 的 平面 叫做直线l的 直线与平面垂直时 它们唯一的公共点p叫做 任意 l 垂线 垂足 垂面 3 图形语言 画直线与平面垂直时 通常把直线画成与平面的平行四边形的一边垂直 如图所示 4 符号语言 任意a 都有l a l 其中 任意直线 等同于 所有直线 2 直线和平面垂直的判定定理 1 文字语言 一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直 则该直线与此平面垂直 2 图形语言 如图所示 相交 3 符号语言 a b a b a l a l b l 3 直线和平面所成的角 平面的一条 和它在平面上的射影所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角 一条直线垂直于平面 我们说它们所成的角是90 一条直线和平面平行 或在平面内 我们说它们所成的角是 综上 直线与平面所成的角的范围 斜线 锐角 0 0 90 即时自测 1 判断题 1 若直线l与平面 内的无数条直线垂直 则l 2 若直线l与平面 内任意一条直线垂直 则l 3 若直线l不垂直于平面 则 内没有与l垂直的直线 4 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条 提示 1 当直线l与平面 内的无数条平行直线垂直时 l与 不一定垂直 3 当l与 不垂直时 l可能与 内的无数条平行直线垂直 2 长方体abcd a1b1c1d1中 下列不是平面abcd的垂线的是 a aa1b bb1c cc1d ad1 解析由长方体的性质可知ad1不垂直于平面abcd 答案d 3 下列条件中 能判定直线l 平面 的是 a l与平面 内的两条直线垂直b l与平面 内的无数条直线垂直c l与平面 内的某一条直线垂直d l与平面 内的任意一条直线垂直 解析根据线面垂直的定义 可知l垂直于 内的所有直线时 l 答案d 4 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 直线ab1与平面abcd所成的角等于 解析bb1 平面abcd bab1即为直线ab1与平面abcd所成的角 且 bab1 45 答案45 类型一直线和平面垂直的定义 例1 下列命题中 正确的序号是 若直线l与平面 内的一条直线垂直 则l 若直线l不垂直于平面 则 内没有与l垂直的直线 若直线l不垂直于平面 则 内也可以有无数条直线与l垂直 若平面 内有一条直线与直线l不垂直 则直线l与平面 不垂直 解析当l与 内的一条直线垂直时 不能保证l与平面 垂直 所以 不正确 当l与 不垂直时 l可能与 内的无数条平行直线垂直 所以 不正确 正确 根据线面垂直的定义 若l 则l与 的所有直线都垂直 所以 正确 答案 规律方法1 直线和平面垂直的定义是描述性定义 对直线的任意性要注意理解 实际上 任何一条 与 所有 表达相同的含义 当直线与平面垂直时 该直线就垂直于这个平面内的任何直线 由此可知 如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直 那么这条直线就一定不与这个平面垂直 2 由定义可得线面垂直 线线垂直 即若a b 则a b 训练1 设l m是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 a 若l m m l b 若l l m 则m c 若l m 则l md 若l m 则l m 解析对于a 直线l m m并不代表平面 内任意一条直线 所以不能判定线面垂直 对于b 因l 则l垂直 内任意一条直线 又l m 由异面直线所成角的定义知 m与平面 内任意一条直线所成的角都是90 即m 故b正确 对于c 也有可能是l m异面 对于d l m还可能相交或异面 答案b 类型二线面垂直的判定 例2 如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 侧棱aa1 底面abc ab ac 1 aa1 2 b1a1c1 90 d为bb1的中点 求证 ad 平面a1dc1 a1c1 平面aa1b1b ad 平面aa1b1b a1c1 ad 由已知计算得ad a1d aa1 2 ad2 a1d2 aa a1d ad a1c1 a1d a1 ad 平面a1dc1 证明 aa1 底面abc 平面a1b1c1 平面abc aa1 平面a1b1c1 显然a1c1 平面a1b1c1 a1c1 aa1 又 b1a1c1 90 a1c1 a1b1而a1b1 aa1 a1 规律方法证线面垂直的方法有三类 1 线线垂直证明线面垂直 定义法 不常用 但由线面垂直可得出线线垂直 判定定理最常用 要着力寻找平面内哪两条相交直线 有时作辅助线 结合平面图形的性质 如勾股定理逆定理 等腰三角形底边中线等 及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直 2 平行转化法 利用推论 a b a b a a 训练2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是棱ab bc的中点 o是底面abcd的中心 求证 ef 平面bb1o 证明 abcd为正方形 ac bo 又 bb1 平面abcd ac 平面abcd ac bb1 又 bo bb1 b ac 平面bb1o 又ef是 abc的中位线 ef ac ef 平面bb1o 类型三直线与平面所成的角 互动探究 例3 如图所示 三棱锥a sbc中 bsc 90 asb asc 60 sa sb sc 求直线as与平面sbc所成的角 思路探究 探究点一直线与平面所成角的范围是什么 提示直线和平面垂直时 直线与平面所成的角是直角 为90 直线与平面平行或直线在平面内时 直线与平面所成角为0 直线是平面的斜线时 直线与平面所成的角是锐角 范围 0 90 所以直线与平面所成角的范围是 0 90 探究点二求斜线与平面所成角的步骤是什么 提示求斜线与平面所成角的步骤 一作 找出射影 作出角 二证 证明作出的角即为所求 三算 在三角形中求角 四答 作答 解因为 asb asc 60 sa sb sc 所以 asb与 sac都是等边三角形 因此ab ac 如图所示 取bc的中点d 规律方法1 求直线和平面所成角的步骤 1 寻找过斜线上一点与平面垂直的直线 2 连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影 斜线与其射影所成的锐角即为所求的角 3 把该角归结在某个三角形中 通过解三角形 求出该角 2 在上述步骤中 作角是关键 而确定斜线在平面内的射影是作角的关键 几何图形的特征是找射影的依据 图形中的特殊点是突破口 训练3 如图所示 rt bmc中 斜边bm 5 它在平面abc上的射影ab长为4 mbc 60 求mc与平面cab所成角的正弦值 解由题意知 a是m在平面abc内的射影 ma 平面abc mc在平面cab内的射影为ac mca即为直线mc与平面cab所成的角 又 在rt mbc中 bm 5 mbc 60 课堂小结 1 直线和平面垂直的判定方法 1 利用线面垂直的定义 2 利用线面垂直的判定定理 3 利用下面两个结论 若a b a 则b 若 a 则a 2 线线垂直的判定方法 1 异面直线所成的角是90 2 线面垂直 则线线垂直 3 求线面角的常用方法 1 直接法 一作 或找 二证 或说 三计算 2 转移法 找过点与面平行的线或面 3 等积法 三棱锥变换顶点 属间接求法 1 一条直线和三角形的两边同时垂直 则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 a 平行b 垂直c 相交不垂直d 不确定 解析由题意可知 该直线垂直于三角形所确定的平面 故这条直线和三角形的第三边也垂直 答案b 2 如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况 能保证该直线与平面垂直的是 三角形的两边 梯形的两边 圆的两条直径 正六边形的两条边 a b c d 解析由线面垂直的判定定理知 直线垂直于 图形所在的平面 对于 图形中的两边不一定是相交直线 所以该直