安徽寿安丰高级中学高考数学一轮复习第三章不等式不等式的综合应用导学案新人教必修5

不等式的综合应用典例精析 题型一含参数的不等式问题【例1】若不等 式组 的解集中所含整数解只有2，求k的取值范围.【解析 】由x2x20有x1或x2，由2x2(52k)x5k0有(2x5)(xk)0.因为2是原不等式组的解，所以k2.由(2x5)(xk)0有52xk.因为原不等式组的整数解只有2，所以2k3，即3k2，故k的取值范围是3,2).【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁.【变式训练1】不等式(1)na2(1)n1n对任意nN*恒成立，求实数a的取值范围.【解析】当n为奇数时，a21n，即a(2 1n).而(21n)2，则a2；当n为偶数时，a21n，而21n21232，所以a32.综上可得2a32 .【点拨】不等式中出 现了(1)n的时候，常常分n为 奇数和偶数进行分类讨论.题型二不等式在函数中的应用【例2】已知函数f(x)2xax22在区间1,1上是增函数.(1)求实数a的值组成的集合A；(2)设x1，x2是关于x的方程f(x)1x的两个相异实根，若对任意aA及t1,1，不等式m2tm1|x1x2|恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)f(x)42ax2x2(x22)2，因为f(x)在1,1上是增函数，所以当x1,1时，f(x)0恒成立，令(x)x2ax2，即x2ax20恒成立. 所以Aa|1a1 .(2)由f(x)1x得x2ax20.设x1，x2是方程x2ax20的两个根，所以x1x2a，x1x22.从而|x1x2|(x1x2)24x1x2a28，因为a 1,1，所以a283，即|x1x2|max3.不等式对任意aA及t1,1不等式恒成立，即m2tm20恒成立.设g(t)m2tm2mtm22，则 解得m2或m2.故m的取值范围是(，22，).【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定 区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了.【变式训练2】设a，b0，且ab1，不等式aa21bb21恒成立，则的取值范围是.【解析】1，).因为ab1，所以aa21bb212ab22ab1，所以1.题型三不等式在实际问题中的应用【例3】某森林出现火灾，火势正以100 m2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火50 m2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m2，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？【解析】设派x名消防队员前去救火，用t分钟 将火扑灭，总损失为y，则t510050x100 10x2，y灭火劳务津贴车辆、器械装备费森林损失费125xt100x60(500100t) 125x10x2100x30 00060 000x2 100(x2)62 500x231 4502100(x2)62 500x231 45036 45 0，当且仅当100(x2)62 500x2，即x27时，y有最小值36 450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36 450元.【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题，建立不等式模型 ，利用基本不等式求最值，基本不等式是历年高考考查的重要内容.【变式训练3】某学校拟建一块周长为400 m的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？【解析】设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m，中间的矩形区域面积为S，则半圆的周长为y2，因为操场周长为400，所以2x2y2400，即2xy400(0x200,0y400)，所以Sxy12(2x)(y)122xy2220 000，由 解得 所以当且仅当 时等号成立，即把矩形的长和宽分别设计为100 m和200m时，矩形区域面积最大.总结提高1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际 应用问题；另一 类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合.解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数