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利用同角三角函数关系式解题浙江省永康市古山中学 (321307) 吴汝龙同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角6种三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义。下列举例说明同角三角函数关系式的应用。一、根据一个角的某个三角函数值，求该角的其它三角函数值。1已知角所在象限，此时只有一组解。例1：若，且，则的值是分析：由条件知为第三象限角，于是由，即得。此题的关键是确定好所在的象限，而后选取恰当的关系式。2给出某一三角函数值，但未给出所在象限。这时须先确定角可能所在象限。一般有两组解。 例2：已知（），求的其它函数值。解：，在第一、三象限。当在第一象限时，。当在第三象限时，。3函数值由字母给出，也未给出象限，此时角可能在四个象限。由符号的缘故，可把两个象限的角的三角函数放在一起去求，故在所求结果的表达式上仍只有两组。例3：已知，求的其它函数值。解：（1）当时，则，（）；，不存在，不存在。（2）当时，若是第一、四象限的角，则，。若是第二、三象限的角，仿上得：，。说明：当时，按以上步骤是最优解法，即先用平方关系求出与正切函数关系密切的正割函数，为确定根号前面的符号，对所在象限分类，其后尽量使用三个倒数关系及一个商数关系，避免多次使用平方关系，若不假思索按和去分类讨论，将使问题复杂化。二、化简同角的三角函数式例4：化简：解：原式三、证明同角的三角恒等式例5：求证：证明一：（切割化弦）左边 =右边证明二：（差值比较法） 证明三：（利用1的代换）左边 =右边证明四：（先分析，再综合）注意到，（） 证明五：（利用比例的性质）即由等比定理可得： 例6：已知：，（，）求证：分析：这是一个条件等式的证明题，等式中出现了A、B、C三个变量，已知中关于它们的等式条件只有一个，一般可从这个条件中解出一个变量（用其余两个变量的函数式表示），再代入所求证式子即可。证明一：（从已知条件中解出）故证明二：（从已知条件中解出）由，得故证明三：（从已知条件中解出）由，得故四、已知一个角的某一个三角函数值，求某个式子的值。此类问题，一般先把式子化简，然后求值。例7：已知，求的值。解1：， 原式将代入上式得，原式解2：，原式将代入上式得，原式解3：，使，则原式说明：1本题解2，运用了“1”的代换，这是一种常用的代换方法，它沟通了三角与代数的内在联系，这种代换可降低难度，简化运算。2本题解3，运用了比例的性质，这是一种运算技巧，将问题转化成
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