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文档简介

课题 3 4基本不等式 第一课时 1 课题导入 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去象一个风车 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗 2 讲授新课 1 探究图形中的不等关系 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积 我们就得到了一个不等式 探究图形变化过程 当直角三角形变为等腰直角三角形 即a b时 正方形efgh缩为一个点 这时有 2 得到结论 3 思考 你能给出它的证明吗 证明 因为 特别的 如果a 0 b 0 我们用分别代替a b 可得通常我们把上式写作 4 1 认识基本不等式 只要证 要证 2 只要证 要证 3 只要证 显然 4 是成立的 当且仅当a b时 4 中的等号成立 用分析法证明 2 从不等式的性质推导基本不等式 3 例题讲解 例1已知x y都是正数 求证 1 2 分析 在运用定理 时 注意条件a b均为正数 结合不等式的性质 把握好每条性质成立的条件 进行变形 解 x y都是正数 0 0 2 当且仅当x y时 式中取等号 2 x y x2 y2 x3 y3 x3y3 解 x y都是正数 x y 2 0 x2 0 y2 0 x3 0 y3 0 x2 y2 2 0 x3 y3 2 0 x y x2 y2 x3 y3 x3y3 即 x y x2 y2 x3 y3 x3y3 2 2 2 当且仅当x y时 式中取等号 当且仅当x y时 式中取等号 4 随堂练习 1 已知a b c都是正数 求证 a b b c c a abc 解 a b c都是正数 b c 2 0 c a 2 0 a b b c c a 即 a b b c c a abc 8abc a b 2 0 2 2 2 当且仅当a b c时 上式取等号 本节课 我们学习了重要不等式a2 b2 2ab 两正数a b的算术平均数 几何平均数 及它们的关系 它们成立的条件 1 前者只要求a b都是实数 而后者要求a b都是正数 2 当且仅当a b时 以上两式取等号 它们既是不等式变形的基本
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