数学与应用数学专业本科毕业论文.doc

数学与应用数学 专业本科毕业论文题 目：巧结数形连理枝 踏平数学千万峰学 号： 2 姓 名： 文 华 学 校： 北川黄江义务教育学校指导教师： 吴行平 答辩日期： 摘 要今年是我省推行新课改的第一年,数学教学也正在进行前所未有的改革,而我的学生在数学学习上都存在或多或少的困难,部分学生甚至于存在严重的问题.思之良久,我认为授人以鱼不如授人以渔:即在整个教学过程中我们都要始终不渝地贯彻数学思想方法的渗透。中学数学的基本思想方法有：转化（或化归）的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想，观察、归纳、猜想的思想，函数、方程、不等式的思想。在我们的中学教材中，数形结合的思想几乎渗透到每一章的内容之中初中教材把实数与数轴对应起来；高中教材把函数与其图象联系起来；解析几何把方程与曲线联系起来；甚至等差(比)数列的通项也给予了几何说明等等，不胜枚举本文就以数形结合的思想方法为主探讨一下其在中学数学中的作用关键词：数学思想 数形结合 坐标系 几何意义 函数 向量目 录一、数形结合的实质1二、数形结合的优越性1三、函数中的数形结合1、二次函数与数形结合、一次函数与数形结合2、函数不等式与数形结合 2、函数方程与数形结合 3四、三角中的数形结合 4五、解析几何中的数形结合 6、利用圆锥曲线的定义性质由数构形 6、利用复数的性质由数构形 7、多次转化，再由数构形 8六、向量中的数形结合9、平面向量与数形结合 9、空间向量与数形结合 10七、 运用数形结合的注意事项12八、参考书目13巧结数形连理枝 踏平数学千万峰北川黄江义校 文华一 数形结合的的实质中学数学可以说是由三部分内容组成：基本知识、基本技能、基本思想方法，简称“三基”。数学思想方法是数学的重要组成部分。数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察的思想。其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，换言之“数形之间相互取长补短”。二 数形结合的优越性几何问题比较直观，代数问题比较抽象，抽象的代数问题一旦与几何图形结合就往往使问题简便，易猜测结果。而且一些纯代数问题结合图形来解，显得特别容易，“脑中有图象，直观又形象”。数形结合方法作为一种策略思想，能最直接揭示问题的本质，直观地看到问题的结果。综上所述，数形结合的优越性可以概述为以下三点：1 能够直接导出结果。2 易于寻找解题思路。3 能避免复杂的计算和推理，简化解题过程。总之，它以解题的直观性和简捷性被广泛使用，特别是作为高考中重要数学思想方法考查以来，各类题解使用的深度和广度逐渐升级，形成热点。三 函数中的数形结合如果说坐标系是数与形结合的纽带，那么我认为函数图象则是数的直观形象的反映。一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反比例函数都有其对应的图像。例如，新课标必修4中有这样的话：“遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的形状，看看有没有特殊点，并借助图象研究一下它的性质，如：单调性、奇偶性、最大值、最小值等。”函数图象则是数的直观形象的反映,在数学教学中要注意培养学生看见函数式立即想到它的图象，结合实际图象记性质、用性质的好习惯。数形要结合，关键在于能根据函数式(或方程)画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义。1 二次函数与数形结合例1已知函数的图像，试判断下列各式的符号(1) -1(2) o(3) 1 1(4) (5) 评析：本题是典型的“形”中觅“数”，也是最简单最基本的的数形结合，它要求学生必须由形到数，也就是要学生读懂图形。例2若方程有两根为，且， 求的取值范围 解：令 0 1 2 或-3a4评析:本题对学生的要求高多了,它要求学生在深入观察数式的特征下,由“数”构“形”,再由“形”构“式”。xOy12：y = x1y = x2y =x2(2，3) 2 一次函数与数形结合例3 已知集合A = (x，y)|，x，yR，B =(x，y)| y = ax2，x，yR，若AB = ，求a的值解：集合A表示不含点(2，3)的直线： y = x1，集合B表示直线m：y = ax21 当直线与直线m平行时，AB = ，此时a =12 当直线m经过点(2，3)时，AB = ，此时3 = 2a2，解得a =所以所求的a的值是1或评析：数学题目本来并无思想，她的思想是人给予的。本题应该是集合运算的范围的，但是我给这些数和式以“形”的直观，使抽象空洞的集合运算变得形象具体起来。 3函数不等式与数形结合2例4 解不等式 分析：令 ， x-5C(-2,0)o1yY2为两个不同的函数 画出函数的图象 的曲线是以c(-2,0)为圆心,以3为半径的上半圆, 的曲线是,两个象限角的平分线.当时,有一个交点即=x x=则由图观察可知其解集为评析：本题当然也可用纯代数的方法解，但是用数形结合解就显得快捷得多，而且直观形象，一目了然，避免了复杂的计算与推理。例5 解不等式|2解：原不等式变形为：|2，令y= 1，则有：|2 ，由双曲线的定义及性质，满足式的点(x，y)是在双曲线(x3)= 1的两支之间，从而原不等式等价于混合组：3x3原不等式的解集为3x3评析：这是一种典型的“由形到数”的解题模式，这样解题，使问题解得简单、直观、明了，省略了繁杂的运算。 4 函数方程与数形结合在考试大纲上，是找不到“函数方程”这个考点的！函数方程所涉及的不是一个具体的知识内容，而是一种有指导性、带全局性的数学思想。 因此，高考中的“函数方程考题”是跨考点、跨板块、跨题型的、考查数学思想的深层试题。比如：例6 方程的实数根的个数是 ( ).o1 A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于3分析: 如图在同一直角坐标系内分别 画出函数 和的图象,由于y2 =1,所以当x大于10时两个函数不可能有交点，即交点的横坐标只能在10以内，通过观察易知两个函数曲线相交有三个交点. 故选(C) 评析：本题看似方程，实是函数，用代数的方法在高中阶段是无法解决的，但如能由数式巧构函数模型，则易如反掌，充分的体现了数形结合的优越性！1例7 实数p取什么值时，方程| x4x3| = px 有四个不同的实数根xyO123解：设 这两个方程表示的曲线如图所示，由图中不难看出，当方程表示的直线和x轴重合时，直线与曲线有2个交点；当方程表示的直线和曲线y =(x4x3)相切时，方程、表示的直线与曲线有3个交点；当方程表示的直线在x轴和切线之间时，直线与曲线有4个公共点，即原方程有4个不等实数根 x1，3消去y得方程x(p4)x3 = 0，x1，3= (p4)12 = p8p4，令= 0，解得p = 42又当p = 42时，x =1，3，所以舍去，当p = 42时，x =1，3故当0p42时方程有四个不同的实数根4评析：原题本来只是方程，如用代数的方法来解方程，那将是多么艰难的一项工作啊。但是如用数式巧构函数模型，则思路清晰，计算简单,逻辑性强。但数形结合的直观思考，离不开代数知识或几何知识的严格的逻辑推理四三角中的数形结合在三角函数这一章中数形结合更是贯穿始终：1、特别强调了单位圆的直观作用，借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；2、利用单位圆给出三角函数的定义，并推导出了同角三角函数问的基本关系；3、借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与x轴的交点等性质； 4、利用三角函数线画正(余)弦及正切和三角函数的图象；并利用图象进一步分析函数的有关性质。例8 已知为锐角，且，求证:分析：题目中出现了三个角，看似复杂，但如果有数形转换意识，由已知三个角的余弦的平方和等于1，就会与原有经验中的知识类比联系，这种数式的特点与长方体的对角线与从出发的相邻三条棱的交角相类比，于是设长方体三条棱为，便有以下证明：例9 已知acos+bsin=c, acos+bsin=c(ab0,k, kZ)求证：.知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A（cos,sin）与点B（cos,sin）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而：AB2=(coscos)2+(sinsin)2=22cos()又单位圆的圆心到直线l的距离5由平面几何知识知OA2(AB)2=d2即 .五.解析几何中的数形结合解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。“曲线”与“方程”是同一对象(即点的轨迹)的两种表现形式，曲线是轨迹的几何形式，方程是轨迹的代数形式它们在表现和研究轨迹的性质时，各有所长几何形式具有直观形象的优点，代数形式具有便于运算的优势，因而具有操作程序化的长处具体解题时最好将二者结合起来，这就是“数形结合”思想在解析几何中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。解析几何最核心的思想方法即数形结合的思想。1 利用圆锥曲线的定义性质由数构形例10.（2007年重庆卷第22题）如图1，（）（求得）椭圆的方程.（）在椭圆上任取三个不同点，使，证明为定值，并求此定值.【说明】 心里有什么，眼里就看到什么！对于本题心里有函数的人首先看到了函数：|FP1|、|FP2|、|FP3|都是角=xFP1的函数。心里有方程的人，首先看到了方程：|FP1|cos= x + c ( x是点P1的横坐标).心里既有函数又有方程的人，不仅同时看到了本题中函数与方程，而且还看到了函数与方程的关系.【解析】设（自变量）xFP1=，于是有 xFP2 =，xFP3 =.设|FP1| = r1，由图2可得|FM| = r1cos，由e = 得 |P1Q| = 2r，于是有（方程）：r1cos+2r1 = 12 3 = 9，从而有（函数）：r =，继而有（方程）：6同理有 于是有（函数方程的统一体）：=评析：圆锥曲线定义是运用数形结合思想解题的依据，把一些代数问题通过转化，运用圆锥曲线的定义与几何性质解题是简化解题过程的最佳手段例11 评析 例12. 分析：7构造直线的截距的方法来求之。 形象直感是数学直觉思维的源泉之一，他是一种几何直觉或空间观念的表现。通过构造题目中所描述数学对象的几何图形，把研究的问题从几何上视觉化，类似的思维活动，学生一旦形成习惯，在处理“数”的问题时，便会具有自觉转化为“形”的意识，用“形”的直观引发出直觉，从而定位解题方向。 2 利用复数的性质由数构形例13. 分析： 3 多次转化，再由数构形 例14. 分析转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。 解： 8 第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图） 相切于第一象限时，u取最大值 在解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。六向量中的数形结合向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算(运算律)，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用平面向量是新高考中增加的最重要的内容，由于它的加入，代数和几何的研究全面改观，数形结合是高考的重要思想之一，而平面向量则为数形结合铺就了宽广的道路。y136O图1-3-21 平面向量与数形结合例15若平面向量与向量的夹角是，且，则向量（ ）A B C D解：由向量与为方向相反的共线向量，如图1，将两向量起点移到原点，显然得到，故选A.【点评】此题主要涉及平面向量的模、夹角、共线的充要条件等基础知识，在解题是要灵活运用不同的方法，如利用数形结合，可直观地得到结果。9例16已知向量，求的值xyABO图2解：如图2，将向量、的起点都移到原点，即，则且，于是，又因，则为正三角形，从而【点评】本题一般的解法是将平方，然后利用向量的数量积解决问题，但若能利用其几何意义，则根本不用计算即可解决问题。xyABO图3C例17已知，若与的夹角为，则的值为_ 分析：本题若直接用夹角的一般方法求解，比较烦琐，而借助于图形，则很快得以解决。2 空间向量与数形结合例18. 如图，在三棱椎P-ABC中，PA平面ABC，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB=AC=1，PA=2（）求直线PA与平面DEF所成角的大小；（）求点P到平面DEF的距离解：（）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系易知：A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）， ， ，设是平面DEF的一个法向量，则 即 ， 取x =1, 则 ，设PA与平面 DEF所成的角为，则 10例19 如图，在正三棱柱A1B1C1ABC中，D，E分别是棱BC、的中点，AB=AA1=2()证明：；(）求二面角的大小； (）求异面直线与BE的距离 证明：（）以A为原点，建立如图的空间直角坐标系，易知各点坐标A(0,0,0), B(,1,0)，B1(,1,0), E(0,2,1),则， 即 （）易知：，设是平面的一个法向量，则，令 则 ，设是平面一个法向量，则，令 则设二面角为，则（）设是与BE的法向量,则，可得：取 y=3, 可知，11向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法向量法和坐标法。通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式-坐标表示式，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，然后给出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题, 把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。 七运用数形结合的注意事项数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质；数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性。数形结合的思想，其应用