1.4计数应用题1备课笔记

14 计数应用题（一）一、教学目标 1体会分类、分步在计数中的重要作用； 2会解相邻、不相邻、定序问题； 3学会解含限制条件的计数问题，正面分类、分步较困难时会用排它法二、教学重点应用计数原理解决应用题时，明确是排列问题还是组合问题三、教学难点正确对排列组合问题进行恰当分类，合理分步四、教学过程 1正确进行合理分步、分类，区分排列、组合例1 在直角坐标系xOy平面上，平行直线x = n(n = 0，1，2，5)与平行直线y = n(n = 0，1，2，5)组成的图形中，矩形共有多少个？ 解：每个矩形对应于两条水平直线与两条竖直直线，故共有= 225个 解题回顾：每个矩形对应于两条横线与两条竖线，分两步分别确定横线与竖线，从6条横（竖）线上选2条，两横（竖）线无需排序，是组合问题 2相邻、不相邻、定序问题 例2 某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序去执行任务，要求甲、乙必须参加，且甲车要在乙车前开出，那么有多少种不同的调度方法？ 思路分析：本题要选排分开，先选再排甲在乙之前（未必相邻）是固定次序问题，只要定下位置不需排序，或者考虑到甲与乙换位后每两种排法中有一种满足条件 解法一：先选定车辆有种，在4个位置中排定其余两辆车，剩下两位置按甲前乙后安排，有种，故共有= 120种 解法二：不考虑甲、乙的次序有= 240种，考虑各种方法中按甲、乙交换次序配对，每对恰有一种符合要求，故共有2402 = 120种 例3 有4名男生、3名女生排成一排，问下列情形各有多少种不同的排法？ （1）甲不在正中间也不在两端； （2）甲、乙两人必须排在两端； （3）男、女生分别排在一起； （4）男、女生相间； （5）甲、乙、丙三人按从左到右顺序排（不一定相邻） 解：（1）先排甲，再排其余人，有4= 2880种； （2）先将甲乙捆绑，再排序，有= 1440种； （3）将男、女生分别看成整体有= 288种； （4）男生排1，3，5，7位，女生排2，4，6位，有= 144种； （5）假设有7个位置，让其余4人排好，剩三个位置甲、乙、丙依次从左向右顺序排入，有= 840种 3直接、间接法解含限制条件的计数问题 例4 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有多少种？解法一：分类： （1）3男1女，有= 12种；（2）2男2女，有= 18种；（3）1男3女，有= 4种； 根据分类计数原理，共有12 + 18 + 4 = 34种 解法二：先不考虑“既有男生又有女生”的限制，共有= 35种，再去掉其中只有男生的种数= 1种（本题中不可能只有女生）共有35 1 = 34种 解题回顾：若从7人任选4人，列一张表，看看选出的学生中男女生分配情况：共有4类，满足条件的有3类，而不满足条件的只有1类，可见用排除法较简洁男生4人4321女生3人0123 4随堂练习 （1）有5名男司机、3名女司机，现派3名男司机、2名女司机出发到五个不同的地区去，不同的分配方案种数有多少种？（）（2）4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有多少种？（36）（3）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有多少个？（58个）（4）让4名男生和4名女生站成一排，其中任何两名女生不能相邻，则共有多少种不同的排法？（2880种）（5）设坐标平面内有一质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点(3，0)（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有多少种？（4种） 5课堂小结本节课我们主要处理了计数问题中的3类问题： （1）合理分类