导数的概念及基本函数的导数(理) (3).ppt

导数的概念及基本函数的导数 一 复习目标 了解导数概念的某些实际背景 瞬时速度 加速度 光滑曲线切线的斜率等 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义 理解导数的概念 熟记常见函数的导数公式c xm m为有理数 sinx cosx ex ax lnx logax的导数 并能熟练应用它们求有关导数 二 重点解析 导数概念比较抽象 其定义 方法一般不太熟悉 因此对导数概念的理解是学习中的一个难点 本节要重点掌握根据导数定义求简单函数的导数的方法 一方面 根据导数定义求导可进一步理解导数的概念 另一方面 许多法则都是由导数定义导出的 导函数 导数 是一个特殊的函数 它的引出和定义始终贯穿着函数思想 首先定义函数y f x 在点x0处可导 且在x0处有唯一的导数f x0 然后定义函数y f x 在开区间 a b 内可导 因而对于开区间 a b 内每一个确定的值 都对应着一个确定的导数f x0 据函数定义 在开区间 a b 内就构成了一个新函数 即导数 三 知识要点 1 导数的概念 f x0 或y x x0 即 求函数y f x 在点x0处的导数的步骤 1 求函数的增量 y f x0 x f x0 如果函数f x 在开区间 a b 内每一点都可导 就说f x 在开区间 a b 内可导 这时 对于开区间 a b 内每一个确定的值x0 都对应着一个确定的导数f x0 这样就在开区间 a b 内构成一个新的函数 我们把这一新函数叫做f x 在开区间 a b 内的导函数 记作f x 或y 需指明自变量x时记作y x 即 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率k 即 k tan f x0 相应的切线方程为y y0 f x0 x x0 2 导数的意义 1 几何意义 2 物理意义 函数s s t 在点t0处的导数s t0 就是当物体的运动方程为s s t 时 物体运动在时刻t0时的瞬时速度v 即 v s t0 设v v t 是速度函数 则v t0 表示物体在时刻t t0时的加速度 导函数也简称导数 当x0 a b 时 函数f x 在点x0处的导数f x0 等于函数f x 在开区间 a b 内的导数f x 在点x0处的函数值 如果函数y f x 在点x0处可导 那么函数y f x 在点x0处连续 但要注意连续不一定可导 3 几种常见函数的导数 1 c 0 c为常数 xn nxn 1 n q 2 sinx cosx cosx sinx 4 ex ex ax axlna 典型例题1 解 1 要使f x 在x 0处连续 则需 故当b 1时 可使f x 在x 0处连续 故当b 1 0且a 1即a b 1时 f x 在x 0处可导 综上所述 当b 1 a r时 f x 在x 0处连续 当a b 1时 f x 在x 0处可导 2 由 1 知 f 0 1 又f 0 1 故曲线y f x 在点p 0 f 0 处的切线方程为 y 1 x 0 即x y 1 0 典型例题2 若f x 在r上可导 1 求f x 在x a处的导数与f x 在x a处的导数的关系 2 证明 若f x 为偶函数 则f x 为奇函数 1 解 设f x g x 则 f a f x 在x a处的导数与f x 在x a处的导数互为相反数 2 证 f x 为偶函数 f x 为奇函数 f x 注 本题亦可利用复合函数的求导法则解决 典型例题3 已知曲线c y x3 3x2 2x 直线l y kx 且直线l与曲线c相切于点 x0 y0 x0 0 求直线l的方程及切点坐标 点 x0 y0 在曲线c上 y0 x03 3x02 2x0 又y 3x2 6x 2 在点 x0 y0 处曲线c的切线斜率k y x x0 x02 3x0 2 3x02 6x0 2 整理得2x02 3x0 0 注有关曲线的切线问题 可考虑利用导数的几何意义 曲线c在某一定点处的切线是唯一的 因此斜率也是唯一的 若存在的话 采用斜率相等这一重要关系 往往都可解决这类问题 典型例题4 它在p处的切线斜率k1 2 课后练习1 1 f x 在x 1处不可导 注判定分段函数在 分界点处 的导数是否存在 要验证其左 右极限是否存在且相等 如果存在且相等 那么这点的导数存在 否则不存在 课后练习2 若函数f x x 1 试判断f x 在x 0处是否可导 2 当x 0时 求f x 的导数 解 1 y f 0 x f 0 x 故函数f x x 在点x 0处不可导 2 当x 0时 可使x x 0 1 同理可得 当x 0时 f x 1 注函数在一点连续 但不一定可导 函数在一点可导 直观反映是函数的图象在这一点是平滑的 课后练习3 一质点作直线运动 它所经过的路程s 单位 m 和时间t 单位 s 的关系是s 3t2 t 1 1 求 2 2 01 这段时间内质点的平均速度 2 当t 2时的瞬时速度 解 1 s 3 2 012 2 01 1 3 22 2 1 0 1303 13 03 m s 2 s 3 t t 2 t t 1 3t2 t 1 3 t2 1 6t t 3 t 1 6t 6t 1 v t 2 13 即当t 2时 质点运动的瞬时速度为13m s 注 2 亦可直接对函数求导后解决 课后练习4 如果曲线y x3 x 10的某一切线与直线y 4x 3平行 求切点坐标与切线方程 解 切线与直线y 4x 3平行 切线斜率为4 又切线在x0处斜率为y x x0 3x02 1 4 x0 1 当x0 1时 y0 8 当x0 1时 y0 12 切点坐标为 1 8 或 1 12 切线方程为y 4x 12或y 4x 8 x3 x 10 x x0 3x02 1 课后练习5 已知曲线s y x3 6x2 x 6 1 求s上斜率最小的切线方程 2 证明 s关于切点对称 1 解 由已知y 3x2 12x 1 当x 2时 y 最小 最小值为 13 s上斜率最小的切线的斜率为 13 切点为 2 12 切线方程为y 12 13 x 2 即13x y 14 0 2 证 设 x0 y0 s x y 是 x0 y0 关于 2 12 的对称点