各高三数学期末模拟分类汇编立体几何4

上教考资源网 助您教考无忧空间向量与立体几何一、填空题1如图所示，为 2【江苏扬州】4长方体中，则与平面 所成的角的大小为 3【江苏苏北四市】10.给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面、的四个命题：若；若m、l是异面直线，；若；若其中为真命题的是 .4【江苏苏北四市】14若RtABC中两直角边为a、b,斜边c上的高为h，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC，PO为棱锥的高，记M=,N=,那么M、N的大小关系是M=N 5【江苏苏州】已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若，mn，则；若，则；若，则；若，则其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_6【江苏泰州实验】13.已知正四棱锥PABCD的高为4，侧棱长与底面所成的角为，则该正四棱锥的侧面积是 7【江苏泰州】3、已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：若，则； 若，则；若上有两个点到的距离相等，则； 若，则。 其中正确命题的序号是 8【江苏泰州】11、正三棱锥高为2，侧棱与底面成角，则点A到侧面的距离是 第13题9【江苏盐城】13.如图,在三棱锥中, 、两两垂直,且.设是底面内一点,定义,其中、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积.若,且恒成立,则正实数的最小值为_1_.二、计算题1【江苏无锡】16（本小题满分14分）ABCDD1C1B1A1直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，（）求证：AC平面BB1C1C；（）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论证明：（） 直棱柱中，BB1平面ABCD，BB1AC 2分又BADADC90，CAB45， BCAC5分又，平面BB1C1C， AC平面BB1C1C 7分（）存在点P，P为A1B1的中点 8分证明：由P为A1B1的中点，有PB1AB，且PB1AB9分又DCAB，DCAB，DC PB1，且DC PB1，DC PB1为平行四边形，从而CB1DP11分又CB1面ACB1，DP 面ACB1，DP面ACB113分同理，DP面BCB114分评讲建议：本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD中BCAC，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的2【江苏淮、徐、宿、连】16.(本小题满分14分)如图，四边形ABCD为矩形，BC上平面ABE，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AEBE；ABCDEFM第16题N(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点 求证：MN平面DAE【解】（1）证明：因为，所以，2分又，DCAFMEBNM第16题图所以， 4分又，所以6分又，所以 8分（2）取的中点，连接，因为点为线段的中点所以|，且， 10分又四边形是矩形，点为线段的中点，所以|，且，所以|，且，故四边形是平行四边形，所以|12分而平面，平面，所以平面 14分3ABCDFA1B1C1ED1【江苏淮、徐、宿、连】22.在正方体ABCDA1B1C1D1中，F是BC的中点，点E在D1C1上，且D1E=D1C1,试求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值.【解】设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系，则各点的坐标分别为, ，2分所以， 4分为平面的法向量，.8分所以直线与平面所成角的正弦值为.10分4【江苏南通】15（本小题14分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D在边BC上，ADC1DB1A1ABCC1D（1）求证：AD平面BC C1 B1；（2）设E是B1C1上的一点，当的值为多少时，A1E平面ADC1？请给出证明解: （1）在正三棱柱中，C C1平面ABC，AD平面ABC， ADC C12分又ADC1D，C C1交C1D于C1，且C C1和C1D都在面BC C1 B1内， AD面BC C1 B1 5分（2）由（1），得ADBC在正三角形ABC中，D是BC的中点7分当，即E为B1C1的中点时，A1E平面ADC18分事实上，正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形BC C1 B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，所以B1BDE，B1B= DE 10分又B1BAA1，且B1B=AA1，DEAA1，且DE=AA1 12分所以四边形ADE A1为平行四边形，所以E A1AD而E A1面AD C1内，故A1E平面AD C1 14分5【江苏启东中学模拟】16（本小题满分14分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.（1）求证：AB1平面CED；（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；【解】（1）D是AB中点，ABC为等腰直角三角形，ABC=900，CDAB又AA1平面ABC，CDAA1.CD平面A1B1BA CDAB1，又CEAB1， AB1平面CDE；（2）由CD平面A1B1BA CDDEAB1平面CDE DEAB1DE是异面直线AB1与CD的公垂线段CE=，AC=1 , CD=；6【江苏启东中学】16（本题满分14分，第1问4分，第2问5分，第3问5分）如下的三个图中，分别是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图以及它的主视图和左视图（单位：cm）（1）按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结，证明：面46422EDABCFG2【解】（1）如图4642224622（俯视图）（正视图）（侧视图）-4分ABCDEFG（2）所求多面体体积-9分 （3）证明：在长方体中，连结，则因为分别为，中点，所以-11分从而又平面，所以面 -14分7【江苏苏北四市】AEDBC16. (本题满分14分)如图，已知空间四边形中，是的中点求证：（1）平面CDE；（2）平面平面 （3）若G为的重心,试在线段AE上确定一点F,使得GF平面CDE【解】证明：（1）同理，又 平面5分（2）由（1）有平面又平面， 平面平面9分（3）连接AG并延长交CD于H，连接EH，则，在AE上取点F使得，则，易知GF平面CDE14分8【江苏苏北四市】4. 已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，又知。（I）求证：平面；（II）求到平面的距离；（III）求二面角余弦值的大小。【解】（I）如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，由，知，又，从而平面；（II）由，得。设平面的法向量为，所以，设，则所以点到平面的距离。（III）再设平面的法向量为，所以，设，则，故，根据法向量的方向，可知二面角的余弦值大小为917【江苏苏州】（本小题满分15分）在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2AB2（）求四棱锥PABCD的体积V；（）若F为PC的中点，求证PC平面AEF；（）求证CE平面PAB【解】（）在RtABC中，AB1，BAC60，BC，AC2在RtACD中，AC2，CAD60，CD2，AD4SABCD 3分则V 5分（）PACA，F为PC的中点，AFPC 7分PA平面ABCD，PACDACCD，PAACA，CD平面PACCDPC E为PD中点，F为PC中点，EFCD则EFPC 9分AFEFF，PC平面AEF 10分（）证法一：取AD中点M，连EM，CM则EMPAEM 平面PAB，PA平面PAB，EM平面PAB 12分在RtACD中，CAD60，ACAM2，ACM60而BAC60，MCABMC 平面PAB，AB平面PAB，MC平面PAB 14分EMMCM，平面EMC平面PABEC平面EMC，EC平面PAB 15分证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PNNACDAC60，ACCD，C为ND的中点 12分E为PD中点，ECPN14分EC 平面PAB，PN 平面PAB，EC平面PAB 15分10【江苏泰州实验】CDEAB16. (本题满分14分)四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，/（）取的中点为，的中点为，证明：面；（）证明： 【解】 (1)取的中点为连可以证明面面， 面6分（2）取中点，连接交于点，又面面，面，.10分，即，面，.14分11【江苏泰州实验】3.（本小题满分10分）右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为已知,，（1）设点是的中点，证明：平面；（2）求二面角的大小；【解】解法一：（1）证明：作交于，连则因为是的中点，所以则是平行四边形，因此有 平面且平面，则面.5分（2）如图，过作截面面，分别交于作于，连因为面，所以，则平面又因为所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角因为，所以，故，即：所求二面角的大小为.10分解法二：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则因为是的中点，所以，易知，是平面的一个法向量因为平面，所以平面.5分（2），设是平面的一个法向量，则则得：取显然，为平面的一个法向量则，结合图形可知所求二面角为锐角所以二面角的大小是.10分12【江苏泰州】16、如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点（1）求证：/平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积【解】证明：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则（2）（3） 且 ， 即=13【江苏盐城】16. (本小题满分14分) 第16题如图,在四棱锥中,侧面底面,侧棱,底面是直角梯形,其中,是上一点.()若,试指出点的位置； ()求证:. 【解】 ()解:因为,且,所以(4分) 又,所以四边形为平行四边形,则(6分) 而,故点的位置满足(7分)()证: 因为侧面底面,且,所以,则(10分) 又,且,所以 (13分) 而,所以(14分)第22题O14【江苏盐城】22（本小题满分10分）如图，ABCD是菱形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60.（）求点A到平面PBD的距离；