2019-2020学年重庆市涪陵区涪陵高级中学校高二上学期第一次诊断性考试数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆市涪陵区涪陵高级中学校高二上学期第一次诊断性考试数学试题一、单选题1直线的倾斜角为 （ ）ABCD与a取值有关【答案】B【解析】先根据直线的方程求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围，求出倾斜角的大小【详解】直线x+ya=0的斜率为，设倾斜角为，则tan= 又 0180，=150，故选：B【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，属于基础题.2垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A平行B相交C异面D以上都有可能【答案】D【解析】试题分析：根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断解：分两种情况：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面故选D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系3（2014秋湖南期末）两圆x2+y2=9和x2+y28x+6y+9=0的位置关系是（ ）A相离 B相交 C内切 D外切【答案】B【解析】试题分析：分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与Rr及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系解：把x2+y28x+6y+9=0化为（x4）2+（y+3）2=16，又x2+y2=9，所以两圆心的坐标分别为：（4，3）和（0，0），两半径分别为R=4和r=3，则两圆心之间的距离d=5，因为4354+3即RrdR+r，所以两圆的位置关系是相交故选B【考点】圆与圆的位置关系及其判定4已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图ABCD（如图2所示），其中AD=2，BC=4，AB=1，则直角梯形DC边的长度是( )A B C D【答案】B【解析】由图形可知 。故选B。5长方体ABCD-A1B1C1D1中，BAB1 =60，则C1D与B1B所成的角是（ ）A60B90C30D45【答案】C【解析】由长方体的性质可得与所成的角就是与所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】长方体中，与所成的角，就是与所成的角，即与所成的角为，故选C.【点睛】求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.6一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的体积为（）ABCD【答案】C【解析】先确定几何体的形状为圆锥与圆柱的组合体，根据已知条件所给数据，求出组合体的体积即可.【详解】直角梯形绕其较长的底旋转一周后，所得的几何体是半径为4、高为2的圆柱和半径为4、高为3的圆锥组成，所以,体积，故选C.【点睛】本题考查旋转体的体积，考查空间想象能力，逻辑思维判断能力，计箅能力，是基础题.7当点到直线的距离最大时，m的值为（ ）A3B0CD1【答案】C【解析】求得直线所过的定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，根据斜率乘积等于列方程，由此求得的值.【详解】直线可化为，故直线过定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，故，故选C.【点睛】本小题主要考查含有参数的直线过定点的问题，考查点到直线距离的最值问题，属于基础题.8在空间中，两不同直线a、b，两不同平面、，下列命题为真命题的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】根据线面平行的性质，面面平行的性质以及判定分别判断每个选项，即可得到答案.【详解】A,若，则或者b在平面内，故不正确；B. 若，则或者与面相交，故不正确；C. 若，则或者b在平面内，故不正确；D. 若，则,根据面面平行的性质得到结果是正确的；故答案为：D.【点睛】这个题目考查了空间中点线面的位置关系，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断。还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断。9设O为坐标原点，C为圆的圆心，圆上有一点满足，则= （ ）AB或CD或【答案】D【解析】【详解】试题分析：,因为，所以直线为圆的切线,设，与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，, 故选D.【考点】圆的切线问题10已知空间四面体中，两两垂直且，那么四面体的外接球的表面积是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意得到可将四面体补体为棱长为2的正方体，两者的外接球的球心重合，是同一球.【详解】以两两垂直的线段分别作为正方体的三条棱，则此正方体的外接球球心和此四面体的外接球的球心是同一点，正方体的外接球的球心在体对角线的中点处，正方体的体对角线长为：，球的半径为故球的面积为： 故答案为：A.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11如图，为正方体，下面结论错误的是（）A平面BC平面D异面直线与所成的角为【答案】D【解析】【详解】在正方体中与平行，因此有与平面平行，A正确；在平面内的射影垂直于，因此有，B正确；与B同理有与垂直，从而平面，C正确；由知与所成角为45，D错故选D12设点是函数图象士的任意一点，点满足，则的最小值为（）ABCD【答案】B【解析】函数表示圆位于x轴下面的部分。利用点到直线的距离公式，求出最小值。【详解】函数化简得。圆心坐标,半径为2.所以【点睛】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题。二、填空题13已知某圆锥的轴截面是腰长为，顶角为的等腰三角形，该圆锥的侧面积是_.【答案】【解析】根据圆锥的轴截面计算出圆锥的底面半径为，然后利用圆锥的侧面积公式可计算出答案.【详解】由题意可知，圆锥的轴截面是底角为的等腰三角形，则圆锥的底面半径为，因此，该圆锥的侧面积为.故答案为：.【点睛】本题考查圆锥侧面积的计算，同时也涉及了圆锥轴截面的应用，考查计算能力，属于基础题.14平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的体积为_.【答案】【解析】利用平面截球的球面所得圆的半径为1 ,球心到平面的距离为 ,求出球的半径，然后求解球的体积.【详解】因为平面截球的球面所得圆的半径为1 ,球心到平面的距离为，所以球的半径为：，所以球的体积为：，故答案为.【点睛】本题考查球的体积公式，考查空间想象能力、计算能力.求解与球的截面有关的问题过程中一定要注意运用性质.15两平行直线，的距离为_.【答案】【解析】由两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可计算出结果.【详解】由于直线与平行，则，整理得，解得.所以，直线的方程为，直线的方程为，即，因此，两直线间的距离为.故答案为：.【点睛】本题考查两平行直线间距离的计算，同时也考查了利用直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.16如图，在正方体中，分别为棱的中点，有以下四个结论：直线与是相交直线；直线与是平行直线；直线与是异面直线；直线与是异面直线其中正确的结论的序号为_【答案】【解析】【详解】试题分析：因为四边不共面，所以直线与是异面直线，所以错误的；同理，直线与也是异面直线，直线与是异面直线，直线与是异面直线，所以是错误的；是正确的,是正确的，故填【考点】空间中直线与直线的位置关系的判定三、解答题17已知的顶点，边上的高所在的直线的方程为，为中点，且所在的直线的方程为.（1）求边所在的直线方程；（2）求边所在的直线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设点的坐标为，由直线与直线垂直，得出直线的斜率为，再由点在直线上，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出边所在的直线方程；（2）设点的坐标为，由的中点在直线上以及点在直线上建立方程组，求出点的坐标，由此可求出边所在的直线方程.【详解】（1）设点的坐标为，直线的斜率为，由于直线与直线垂直，则直线的斜率为，整理得，又因为点在直线，则，所以，解得，即点的坐标为，因此，边所在的直线方程为，即；（2）设点的坐标为，由的中点在直线上，所以，整理得，又因为点在直线上，所以，解得，即点.则直线的斜率为，因此，边所在直线的方程为，即.【点睛】本题考查三角形的边所在直线方程的求解，解题的关键就是确定顶点的坐标，根据题意建立方程组求顶点坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.18（1）已知点为圆上的一个动点，点为线段的中点，求点的轨迹方程；（2）若直线截得由（1）所得曲线的弦长为，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设点，点，根据中点坐标公式得出，由点在圆上即可得出点的轨迹方程；（2）由题意知，直线过圆的圆心，可得出，即，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】（1）设点，点，由于点为线段的中点，则，解得，点在圆上，所以，则，因此，点的轨迹方程为；（2）由（1）可知，曲线是以点为圆心，以为半径的圆，其直径长为，由于直线截曲线所得弦长为，则直线过圆的圆心，即，可得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.【点睛】本题考查利用相关点法求动点的轨迹方程，同时也考查了利用基本不等式求最值，涉及“”的妙用，考查计算能力，属于中等题.19如图，四棱锥中，底面，为的中点，.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；（2）由平面以及为的中点，可知三棱锥的高为，计算出三棱锥和三棱锥的体积，利用三棱锥和三棱锥的体积之差可得出三棱锥的体积.【详解】（1）取的中点，连接、，、分别为、的中点，且，又且，且，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面；（2），所以，的面积为，平面，且，所以，三棱锥的体积为，为的中点，则三棱锥的高为，所以，三棱锥的体积为.因此，三棱锥的体积为.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了三棱锥体积的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20已知圆与直线相交于、两点，为原点，若.（1）求实数的值；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由圆的一般方程可求出，并设、，将直线的方程与圆的方程联立，消去，计算，可得出，列出韦达定理，将转化为，代入韦达定理，化简计算可得出的值；（2）利用弦长公式计算出，利用点到直线的距离公式计算出的高，然后利用三角形的面积公式即可得出的面积.【详解】（1）方程表示的曲线为圆，则，得.设点、，联立，消去得，则，解得.由韦达定理得，.若直线、的斜率都存在，由，可知两直线的斜率之积为，化简得；若直线、分别与两坐标轴垂直，不妨设轴，轴，则，满足.由，解得，合乎题意.因此，；（2）由（1）可得，.由弦长公式得，的高为，因此，的面积为.【点睛】本题考查利用韦达定理求解直线与圆的综合问题，同时也考查了三角形面积的计算，涉及弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题.21如图，在四棱锥中，平面，为的中点，为 的中点，底面是菱形，对角线，交于点求证：（1）平面平面；（2）平面平面【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】（1）因为为的中点，为的中点，所以又平面，平面，所以平面 同理可证，平面，又所以，平面平面（2）因为平面，平面，所以 因为底面是菱形，所以，又所以平面又平面，所以平面平面22在平面直角坐标系中，点，直线，圆.（1）求的取值范围，并求出圆心坐标；（2）有一动圆的半径为，圆心在上，若动圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（1）的取值范围为，圆心坐标为；（2）.【解析】（1）根据圆的一般方程得出关于实数的不等式，即可求出实数的取值范围，再利用圆心坐标公式可求出圆心坐标；（2）由题意可知点的坐标为，由可知线段的垂直平分线与圆有公共点，由此可得出关于实数的不等式，进