2020春八年级数学下册 第19章 全等三角形 19.4逆命题与逆定理 3角平分线习题课件 华东师大版

3 角平分线 1 如图1 已知 oq平分 aob qd oa qe ob 点d e为垂足 则 图1 归纳 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 qd qe 2 如图2 已知 qd oa qe ob 点d e为垂足 且qd qe 则点q在 aob的 上 图2 归纳 到一个角的两边距离相等的点在这个角的 上 平分线 平分线 3 三角形三条角平分线交于 一点 预习思考 1 角是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 提示 角是轴对称图形 它的对称轴是角平分线所在的直线 2 使用角平分线的判定定理要注意什么问题 提示 要注意不能见到垂直就得结论 还要满足到角的两边距离相等 二者缺一不可 角平分线性质定理和判定定理的应用 例1 如图 ad bc abc的平分线bp与 bad的平分线ap相交于点p 作pe ab于点e 若pe 2 则两平行线ad与bc间的距离为 解题探究 1 点p具备什么样的特点 答 点p既在 abc的平分线上 又在 bad的平分线上 2 根据点p具备的特点有什么样的性质 依据是什么 答 根据角平分线的性质 点p既到 abc的两边距离相等 又到 bad的两边距离相等 3 根据上面的分析 解答问题 答 过点p作mn ad 交ad于点m 交bc于点n 如图所示 ad bc abc的平分线bp与 bad的平分线ap相交于点p pe ab于点e 又pm ad pn bc pm pe 2 pn pe 2 mn 2 2 4 答案 4 互动探究 1 例题中的pe在解题的过程中起到了什么作用 提示 线段pe在解题的过程中起到了等量代换的作用 2 改变 abc和 bad的大小 保持 abc bad 180 而不改变pe值的大小 两平行线ad与bc间的距离变化吗 提示 不变 因为mn 2pe 与 abc和 bad的大小无关 规律总结 角平分线性质及判定的区别 附 记忆口诀 角平分线性质记忆口诀图中有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对折以后关系现 跟踪训练 1 在以下结论中 不正确的是 a 平面内到角的两边距离相等的点一定在角平分线上 b 角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等 c 一个角只有一条角平分线 d 角的平分线有时是直线 有时是线段 解析 选d 根据角平分线的判定及性质 选项a b正确 根据角平分线的定义 得选项c正确 选项d错误 2 如图 op是 aob的平分线 c是op上一点 ce oa于点e cf ob于点f ce 6cm cf cm 理由是 解析 op是 aob的平分线 ce oa于点e cf ob于点f 根据角平分线的性质 得ce cf 6cm 理由 角平分线上的点到角的两边距离相等 答案 6角平分线上的点到角的两边距离相等 3 如图 已知bd是 abc的平分线 cd是 acb的外角平分线 由d出发 作点d到bc ac和ab的垂线de df和dg 垂足分别为e f g 则de df dg的关系是 解析 因为bd是 abc的平分线 cd是 acb的外角平分线 且de bc df ac dg ba 所以 de df de dg 即de df dg 答案 de df dg 变式备选 如图 p是 aob的平分线上的一个点 pc ao于点c pd ob于点d 写出图中一组相等的线段 只需写出一组即可 解析 因为p是 aob的平分线上的一个点 pc ao pd ob 所以pd pc 根据h l 定理 得 opd opc 所以od oc 答案 pd pc 或od oc 角平分线性质定理和判定定理的综合应用 例2 6分 如图所示 在 abc中 c 90 bd平分 abc交ac于点d 过点d作de bc交ab于点e 过点d作df ab于点f 说明bc de ef成立的理由 规范解答 bd平分 abc df ab c是直角 cd df dbc dbe dfb c 1分 bcd bfd bc bf 3分 特别提醒 应是线段dc和df相等 而不是dc和de相等 de bc dbc edb 又 dbc dbe edb dbe bde是等腰三角形 4分 be de bf bc de ef 6分 互动探究 例题中的 ebd具备什么特点 提示 ebd是等腰三角形 规律总结 角平分线 平行线 等腰三角形角平分线平行线 等腰三角形来添 内错角加平分角 等角对应等线段 基本图形 p是 cab的平分线上一点 pd ab 则有 1 2 3 所以ad dp 跟踪训练 4 如图 abc中bd cd平分 abc acb 过d作直线平行于bc 分别交ab ac于e f 当 a的位置及大小变化时 线段ef和be cf的大小关系 a ef be cf b ef be cf c ef be cf d 不能确定 解析 选b 根据bd平分 abc cd平分 acb 且ef bc 得 bed和 cfd是等腰三角形 即ed eb fd fc 所以ef be cf 与 a的位置及大小变化无关 5 如图 abc中 abc的平分线与 acb外角的平分线交于点d 过d作bc的平行线交ab ac于e f 求证 ef be cf 证明 bd平分 abc ed bc be de cd平分 acg ed bc fcd fdc fd fc ef de df be cf 1 如图 d是 bac的平分线ad上一点 de ab于e df ac于f 下列结论中不正确的是 a de df b ae af c ade adf d ad de df 解析 选d 根据角平分线的性质 选项a正确 又ad ad 依据h l 定理 得 ade adf 即选项b c正确 选项d不正确 2 如图所示 已知 aob 40 om平分 aob ma oa于a mb ob于b 则 mab的度数为 a 50 b 40 c 30 d 20 解析 选d 由om平分 aob ma oa mb ob 得 aom 20 ma mb 所以 amo 70 即 amb 140 所以 mab故选d 3 如图 aob 30 op平分 aob pc ob pd ob 如果pc 6 那么pd等于 解析 过p作pe oa于点e 如图 则pd pe pc ob opc pod op平分 aob aob 30 ecp 30 在rt ecp中 pd pe 3 答案 3 4 如图 已知 cda cba 90 且cd cb 则点c在 的平分线上 点a在 的平分线上 解析 cda cba 90 且cd cb 根据角平分线性质的逆定理 则点c在 bad的平分线上 点a在 bcd的平分线上 答案 badbcd 5 如图 p是 bac内的一点 pe ab pf ac 垂足分别为点e f ae a