2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数与映射课件 新人教A版必修1

1 2函数及其表示 1 2 2函数的表示法 第2课时分段函数与映射 1 分段函数在函数的定义域内 对于自变量x的不同取值区间 有着不同的 这样的函数通常叫做分段函数 2 映射的概念设a b是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应关系f 使对于集合a中的 元素x 在集合b中都有 的元素y与之对应 那么就称对应 为从集合a到集合b的一个映射 对应关系 任意一个 唯一确定 f a b 1 判一判 正确的打 错误的打 1 分段函数的图象一定不是连续的 2 函数都是映射 3 映射都是函数 答案 1 2 3 3 思一思 分段函数是由几个函数构成的吗 解析 不是 分段函数的定义域只有一个 只不过在定义域的不同区间上对应关系不同而已 是一个函数 分段函数求值 方法规律 1 分段函数求值 一定要注意所给自变量的值所在的范围 代入相应的解析式求值 2 已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值 可分段利用函数解析式求得自变量的值 但应注意检验分段解析式的适用范围 也可先判断每一段上的函数值的范围 确定解析式再求解 分段函数的图象及应用 方法规律 1 分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式 所以它的图象也由几部分构成 有的可以是光滑的曲线段 有的也可以是一些孤立的点或几段线段或射线 而分段函数的定义域与值域的最好求法也是 图象法 2 对含有绝对值的函数 要作出其图象 首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号 将函数转化为分段函数来画图象 3 画分段函数图象时还要注意端点是 实心点 还是 空心点 例3 判断下列对应是不是从集合a到集合b的映射 1 a n b n 对应关系f x x 3 2 a 平面内的圆 b 平面内的矩形 对应关系f 作圆的内接矩形 解题探究 解答本题可由映射定义出发 观察a中任何一个元素在b中是否都有唯一元素与之对应 映射的概念及应用 解析 1 由于a中元素3在对应关系f作用下其与3的差的绝对值为0 而0 b 故不是映射 2 因为一个圆有无数个内接矩形 即集合a中任何一个元素在集合b中有无数个元素与之对应 故不是映射 方法规律 映射是一种特殊的对应 它具有 1 方向性 映射是有次序的 一般地从a到b的映射与从b到a的映射是不同的 2 唯一性 集合a中的任意一个元素在集合b中都有唯一元素关系 可以是 一对一 多对一 但不能一对多 3 设集合a x 1 x 2 b y 1 y 4 则下述对应关系f中 不能构成从a到b的映射的是 a f x y x2b f x y 3x 2c f x y x 4d f x y 4 x2 答案 d 解析 对于d 当x 2时 由对应关系y 4 x2得y 0 在集合b中没有元素与之对应 所以d选项不能构成从a到b的映射 分段函数自变量的范围的误区 错因 本题是一个分段函数问题 在解决此类问题时 要紧扣 分段 的特征 即函数在定义域的不同部分 有不同的对应关系 它不是几个函数 而是一个函数 求值时不能忽视x的取值范围 正解 当x 0时 由x2 1 3 得x 2或x 2 舍去 当x 0时 由2x 1 3 得x 1 舍去 故x 2 警示 1 分段函数是一个函数而不是几个函数 处理分段函数体现了数学的分类讨论思想 分段求解 是解决分段函数问题的基本原则 2 对号入座 根据自变量取值的范围 准确确定相应的对应关系 转化为一般函数在指定区间上的问题 不能准确理解分段函数的概念是导致出错的主要原因 1 分段函数 1 分段是针对定义域而言的 将定义域分成几段 各段的对应关系不一样 2 一般而言 分段函数的定义域部分是各不相交的 这是由函数定义中的唯一性决定的 3 研究分段函数时 应根据 先分后合 的原则 尤其是作分段函数的图象时 可先将各段的图象分别画出来 从而得到整个函数的图象 2 映射 1 映射f a b是由非空集合a b以及a到b的对应关系f所确定的 2 映射定义中的两个集合a b是非空的 可以是数集 也可以是点集或其他集合 a b是有先后次序的 a到b的映射与b到a的映射一般是截然不同的 即f具有方向性 3 在映射中 集合a的 任一元素 在集合b中都有 唯一 的对应元素 不会出现一对多的情况 只能是 多对一 或 一对一 形式 1 已知集合a a b b 0 1 则下列对应不是从a到b的映射的是 答案 c 解析 a b d均满足映射定义 c不满足集合a中任一元素在集合b中有唯一元素与之对应 且集合a中元素b在集合b中无元素与之对应 答案 2 解析 因为f 0 3 0 2 2 f f 0 f 2 4 2a 4a 所以a 2 5