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公差模型的数学方法 报告人 刘娇 1 目录 CONTENTS 建立公差模型的数学方法研究 面向刚性 柔性装配的公差分析方法 2 目录 CONTENTS 建立公差模型的数学方法研究 面向刚性 柔性装配的公差分析方法 3 漂移公差带模型 虚拟边界模型 齐次变换矩阵法 建立公差模型的数学方法研究 矢量空间模型 圆度公差数学模型 基于积分映射的轮廓度公差建模 4 漂移公差带模型 虚拟边界模型 齐次变换矩阵法 建立公差模型的数学方法研究 矢量空间模型 圆度公差数学模型 基于积分映射的轮廓度公差建模 5 1 漂移公差带模型 闵科夫斯基和 Minkowskisum 是两个欧几里得空间 一个特别的度量空间它使我们能够对其的拓扑性质加以调查 的点集的和 以德国数学家闵可夫斯基命名 点集A与B的闵可夫斯基和就是A B a b a A b B 例如 平面上有两个三角形 其坐标分别为A 1 0 0 1 0 1 及B 0 0 1 1 1 1 则其闵可夫斯基和为A B 1 0 2 1 2 1 0 1 1 2 1 0 0 1 1 0 1 2 6 例 7 MMC MaximumMaterialCondition最大实体条件 MMC A B LMC LeastMaterialCondition最小实体条件 LMC A B 公差带可以认为是处于MMC和LMC状态下的两个实体的差集 只不过该集合使用漂移技术得到的 8 如图所示 移动一个半径为r的圆盘 其圆心位于图 a 所示矩形边上 所扫过的空间区域如图 b 所示 它是图 a 矩形的扩展型 即矩形和圆盘的闵可夫斯基和 类似的 可得如图 c 所示的图 a 中矩形的缩减型 求扩展型和缩减型的差 便得图所示的公差带 a 一个矩形 b 扩展形 c 收缩型 MMC LMC d 公差带 9 漂移模型 offettingmodel 这个模型用点集形式来表示 实体S是欧氏空间的一个正则子集 用点集定义了其上特征 公差的数学表达 为所需添加公差的实体 为该名义实体的边界 是公差要求 上述定义的公差经过漂移 得到漂移实体 为漂移量 与公差有关 为正规差 C 为正规补 点p到实体S的距离 10 漂移公差带模型 a 一个矩形 b 扩展形 c 收缩型 d 公差带 假定一个实体S 它的正漂移a 0定义为S a 相当于在实体S外加上一层与实体S边界的距离值小于等于a的所有的点 图b a 0为负漂移 定义为S a 相当于除去实体S上与实体S边界的距离值小于a的所有的点 图c 11 国标和ISO采用极限尺寸判断原则 1 孔和轴的作用尺寸不允许超过最大实体尺寸 孔 作用尺寸应不小于最小尺寸 轴 不应大于最大极限尺寸 2 在任何位置上实际尺寸不允许超过最小实际尺寸 孔 实际尺寸应不大于最大尺寸 轴 不应小于最小极限尺寸 12 漂移公差带模型 虚拟边界模型 齐次变换矩阵法 建立公差模型的数学方法研究 矢量空间模型 圆度公差数学模型 基于积分映射的轮廓度公差建模 13 2 虚拟边界模型 定义 R J和V S在漂移理论上 将装配件的功能要求描述为虚拟表面的功能要求刚性集合 这种用虚拟表面或虚拟半空间的边界的刚性集合来描述的功能要求的方法称为虚拟表面法或虚拟边界要求法 VBRS 装配要求 材料体积要求 VBRS 相当于对材料增加量的限制 即对孔而言限制其最小极限尺寸 对轴而言限制其最大极限尺寸 相当于对零件材料减少量的限制 即对孔而言限制其最大极限尺寸 对轴而言限制其最小极限尺寸 14 装配要求 在两个零件之间建立指定的空间关系 柱销和垫片的装配要求 15 柱销应满足的集合约束关系采用虚拟表面刚性集合表述 1 Vs 1位于法兰面的非材料边 2 法兰面与Vs 1紧密接触 3 Vs 2包容圆柱面 垫片应满足的集合约束关系采用虚拟表面刚性集合表述 1 Vs 1存在于基面的非材料边 2 基面与Vs 1紧密接触 3 Vs 2被垫片的圆柱孔表面包围 16 材料体积要求 功能要求 圆筒圆柱壁材料所占的体积包容由规定直径和壁厚所确定的空心圆柱体积 关键部位的材料几何特性称为材料体积要求 只与材料量有关 与零件个部分之间的空间关系无关 虚拟表面刚性集合表述 1 Vs outer位于外圆柱的材料边且被外圆柱包围 2 Vs inner存在于内圆柱的材料边且包容内圆柱 虚拟边界实际上是满足公差定义的零偏差的极值边界 所以虚拟边界模型可用于极值公差分析 但不适用于尺寸链复杂的装配体 17 漂移公差带模型 虚拟边界模型 齐次变换矩阵法 建立公差模型的数学方法研究 矢量空间模型 圆度公差数学模型 基于积分映射的轮廓度公差建模 18 3 矢量空间模型 Hoffman认为几何实体由三维欧氏空间的点矢量构成 公差模型定义为一系列以点矢量为参数的公差函数族 满足公差要求就是满足下式 为零件的参数矢量 为公差函数 L U为公差域的上 下界 Turner扩展了这一模型 首先需要定义公差变量 设计变量和模型变量公差变量 表示零件名义尺寸的偏差设计变量 由设计者确定 用以表示最终装配件的多目标优化函数模型变量 控制零件各个公差的独立变量由于旋转偏差是非线性的 用模型变量表示旋转偏差旋转方向上的矢量顶点特点 1 参数矢量必须独立 否则就不能保证线性独立和矢量叠加的可替换性2 即使是一个简单的零件会产生大量参数矢量 如平面上两个圆的尺寸公差就需要定义至少36个参数矢量3 为把公差约束转换成参数矢量 需要对公差约束做一些近似处理 导致过大的误差积累 19 圆度公差数学模型 1 假设圆度公差带局部坐标系的原点取在圆心 定向矢量带入 1 20 圆度公差带最大位移情况 当处于最大值时 圆过 圆过代入 3 4 由 7 8 得 21 漂移公差带模型 虚拟边界模型 齐次变换矩阵法 建立公差模型的数学方法研究 矢量空间模型 圆度公差数学模型 基于积分映射的轮廓度公差建模 22 4 齐次变换矩阵法 常用齐次坐标来实现三维空间中的点从一个坐标到另一个坐标的变换 坐标点的齐次坐标变换可写成 23 零件A从理想位姿变换到实际位的齐次坐标变换 综合的表示了沿各坐标轴的平动和绕各坐标轴的旋转 平动 24 由于影响机械加工精度的几何变动量相对零件的名义尺寸是微小量 简化 旋转 25 26 27 机床工作台相对于刀具的齐次坐标变换 机床的几何精度 夹具相对于机床工作台的齐次坐标变换 夹具在机床上的定位误差 工件相对夹具的齐次坐标变换 工件在夹具上的定位误差 工件本身几何变动 28 漂移公差带模型 虚拟边界模型 齐次变换矩阵法 建立公差模型的数学方法研究 矢量空间模型 圆度公差数学模型 基于积分映射的轮廓度公差建模 29 5 基于积分映射的轮廓度公差建模 自由曲面 空间平面PZ h 假设则对曲面的积分可以通过对平面积分求解得到 30 变动要素 公差上限 理想要素 公差下限 31 设映射平面变化大小为 32 目