08高考数学考前必读资料

08高考数学考前必读资料集 合 (注意空集的情况)注意斜率不存在的情况例：已知点A(2,-2)，B(-1,5),过原点的直线L与线段AB交于P点，则L的斜率K的取值范围是(D)yx (A)-5,-1 (B)-1,+ (C)- ,-5 (D)-,-5-1,+ 巧用直线方程x-xo=m(y-yo)当直线过定点(x0,y0)时，若仅会使用y-y0=k(x-x0),有时会出现下列情况: (1)容易忽视斜率不存在的情形；(2)运算较繁，有时还会陷入僵局。 若已知斜率不为零，则可设x-x0=m(y-y0)，这不仅可以避免讨论直线斜率的存在性，有时还可以简化运算。例:过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线与该抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1,y2,求证:y1.y2=-p2。证明：显然，直线的斜率k 0，因为倾斜角不为零，故可设直线方程为由 消去x,解析几何(抛物线.巧设方程免讨论) 如图，设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC x轴。证明：直线AC经过原点O。 由 消去x,慎用双曲线定义解题解析几何(双曲线)0双曲线的三个区域双曲线 及其渐近线把平面分成、 三个区域。(1)当P(x0,y0)在区域内时，有(2)当P(x0,y0)在区域内时，有 (3)当P(x0,y0)在区域内时，有解 析 几 何 (轨迹)广义判别式*设f(x)是关于实数x的一个解析式，a、b、c都是与x有关或无关的实数且a0,则 =b2-4ac0是方程af(x)2+bf(x)+c=0有实根的必要条件，称“”为广义判别式。例：解方程x2-2xsinxy+1=0 (x,yR).解:方程有实根 = -2sinxy-4 0 sinxy 1或sinxy-1 sinxy=1,把sinxy =1分别代入原方程,得 经检验, 都是原方程的根。立体几何 中的一个重要结论*过空间的一个定点P与已知异面直线L1、L2所成的角为定值的直线条数的分布规律。设异面直线L1、L2所成的角为,其中(0, ,P为空间的一个定点，则过定点P且与L1、L2所成的角都为 的直线条数有 条。(1)当 (0, )时，有0条； (2)当 = 时，有1条； (3)当 ( , )时，有2条； (4)当 = 时，有3条； (5)当 ( , )时，有4条； (6)当 = 时，有1条. 注：异面直线L1和L2所成的角为，则的取值范围是(0, .利用“五点法”确定初相 AAyOx 今结合教材中“五点描图法”画函数y=Asin(wx+ ) (A0,w0) 图像的方法，给出一种求初相 的简便易行的方法，我们把wx+ 看成一个整体，列出下表:wx+0 xx1 x2 x3 x4 x5 y 0 A 0 -A 0根据这五个点的求法，可知有下列等式成立：wx1+ =0, wx2+ = , wx3+ = , wx4+ = , wx5+ = , 只要知道上述五个等式中的任意两个就能求出w和 ，此法称为用五点法确定初相 。 但应注意:用五点法确定初相，这五个点一定要在同一个周期内:即第二、第四两点应分别为图像的最高点与最低点；第二、第四两点之间的图像与x轴的交点为第三点；第一点为最高点前面的最靠近最高点的图像与x轴的交点；第五点则是最低点后面的最靠近最低点的图像与x轴的交点。*函数y=Asin( x+ ) (A0, 0)在一个周期内的图像如图所示，求其解析式。 2 y 解：易知A=2，由图像得知， 则等比数列(注意公比为q=1的情形) 关于四个数成等比数列的问题例：设四个实数成等比数列，其积为210，中间两项的和为4，求公比q。依题意 消去a， 得分析及改正：在等差数列中，若有连续四项，可设为： 正解 数列*(2006年 重庆 理14)数 列 （周期数列）反思:是否扩大或缩小了范围函 数（定义域奇偶性） 还应由 得x3 全面考虑问题例(2001年上海高考题) 设F1、F2为椭圆 1的两个焦点，P为椭圆上的一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|, 求 的值. 构 造 对 称 式 解 题“1”的妙用 (最值)三 角 函 数(选择填空题) *(1998年全国高考题)函数(反函数中心对称)三 角 函 数 (对称性中心对称)缩小限制范围，避免出现增解函 数 (分段函数单调性)*(2006年 北京 理5)已知 是 上的减函数，那么 a 的取值范 围是( C ) (A) (0，1) (B) (0， ) (C) (D) 函数(正难则反补集法)不等式恒成立的问题(转移视角换位思考)整体化归，回避讨论整 体 思 想 (等比数列极限)数 形 结 合 要 防 止 以 偏 概 全例：试问方程2x-1-x2=0有几个实根？分析：图解法 C1: y=2x C2: y=x2+1. 易知x=0,x=1是它的两个实根， 还有第3个实根。*已知直线y=-x+3与坐标轴交于A、B两点，若抛物线y=-x2+mx-1与线段AB有两个不同的交点，求实数m的取值范围。 错解：令f(x)=-x2+mx-1 则 y剖析：上面解法错误地(或片面地)认为抛物线的顶点应在线段AB的上方。事实上，它忽略了顶点在线段AB下方而抛物线与线段AB有两个交点的情形。正解：由得 x2-(m+1)x+4=0. (*)欲满足题设条件，只需方程(*)在0,3内有两个不同的实根。令f(x)=x2-(m+1)x+4. 则 设 问 的 否 定 形 式*(2005年 全国 理17)设函数f(x)=sin(2x+ ) ,y=f(x)图像的一条对称轴是直线 .()求 ；()求函数y=f(x)的单调增区间；()证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图像不相切 .解： () 是函数y=f(x)图像的一条对称轴， sin , () ()*(2005 江苏 第9题)设K=1，2，3，4，5，则(x+2)5的展开式中xk的系数不可能是 ( C ) (A) 10 (B) 40 (C) 50 (D) 80解：开 放 性 试题*(2005年 福建 理16)把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题。若函数f(x)=3+log2x的图像与g(x)的图像关于( )对称，则函数g(x)=( ).(注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形).解：答案不惟一，例如，(1)x轴 -3-log2x ; (2)y轴，3+log2(-x ) ; (3)原点，-3-log2(-x) ; (4)直线y=x, 2x-3 .图 表 信 息 题 (信息检索、数据处理)*(2004年 江苏)-23(示意图)xx-3-2-101234y60-4-6-6-406函 数 (复合函数)x123 f(x)131 x123g(x)321图形信息题(给图考图)0 h0 H hV*(1998年 全国高考题)(A)D)(C)(B)数 列 (等比数列数表题)第1行1第2行2 3第3行4 5 6 7 “不等式恒成立时参数确定问题”的两个基本思路不等式恒成立问题(分离变量，利用函数单调性解题)*(1990年 广东高考题)不等式恒成立问题(分离参数法)比较大小(归纳、猜想、证明)重复排列向 量 (两个向量的夹角解三角形)ABDC向 量 (记住一个重要结论)命题的否定与否命题逆 否 命 题 (简易逻辑)命 题 的 否 定 (简易逻辑)极 限 -11-2x1 -2-2x0 0x0,那么f(x)在(a,b)内是增函数；如果在(a,b)内f ,(x)0(或0(或0),则f(x)在(a,b)内严格增加(或严格减少).(此为充分条件但不是必要条件，即它的逆定理不成立.)定理：设函数f(x)在区间(a,b)内可导，则f(x)在(a,b)内单调增加(或单调减少)的充要条件是f ,(x) 0 (或f ,(x) 0).导 数 (单调性)判断函数单调性时遗漏f ,(x)等于0的情况致误。*已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围。错解：求导， f ,(x)=3ax2+6x-1,依题意， f ,(x)在R上恒小于0，则有 a0，则f(x)在D上是增函数；若f ,(x)0(或0),且f(x)在其定义域内为增函数，求a的取值范围。错解：求导， f ,(x)=3x2+2ax+3. f(x)为增函数， f ,(x)0, 即3x2+2ax+30.则必=(2a)2-4330, 得a29, -3a0, 0a3.改正：应考虑f ,(x)=0, 由f ,(x)= 3x2+2ax+30及0，0a 3.函 数 (单调性)函数的极大值与极小值定理(极值的必要条件)设函数f(x)在点x0处可导，且f(x)在点x0处取得极值(极大或极小)，则f ,(x0)=0.注：曲线f ,(x)在它的极值点x0 处的切线都平行于x轴，即f ,(x0)=0.这说明，可导函数的极值点一定是它的驻点(又称稳定点、临界点)；但是,反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点. 例如: f(x)=x3 ， f ,(x)=3x2， f ,(0)=0，但x=0不是函数的极值点. 同时应注意：如果函数f(x)在其定义域内有导数 定理(极值判别法1，第一充分条件) 设函数f(x)在点x0附近(即点x0的一个邻域内)具有导数且f ,(x0)=0.(1)若x0;而x x0时,f ,(x0)0,则f(x0)为极大值。(2)若x x0时, f ,(x0) x0时,f ,(x0)0,则f(x0)为极小值。简言之，一阶导数由正变负，极大值；由负变正，极小值。注:“在点x0附近 ”是指在x0左右两侧附近所有各点。 如果函数f(x)在区间a,b上有定义，那么只有这区间内部的点(不包括a,b两点)才可能成为函数的极值点.导 数 (极值)*确定实数p、q的值，使函数f(x)=x2+px+q在x=1处取得极小值3.解：求导， f ,(x) = (x2+px+q) =2x+p. 则有 p=-2,q=4.注:定理（极值存在的必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且f(x)在点x0处取得极值(极大或极小),则f ,(x0)=0. 应注意：(1)导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)=x3，在点x=0处的导数是0，但它不是极值点，即在 点x=0处无极值.(2)在导数不存在的点，函数也可能取得极值。如函数f(x)= x ，虽然在点x=0处连续，但在点x=0 处不可导，而x=0是极小值点，极小值为f(0)=0.运用导数求函数的极值、最值导 数 (最值)*(2004年 江苏 第10题) 函数 在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是（ C ）A1，-1 B1，-17 C3，-17 D9，-19导 数 (切线的斜率与切线方程) y0 x L1L2示意图曲线的切