33[1]. 圆锥曲线 综合练习

第二章 圆锥曲线 综合练习求曲线方程（一）【例题精选】例1 ：求经过两圆的交点，圆心在上的圆的方程。分析：（1）从题设知：两圆O1：O2：的交点可以通过解方程求出，记作A、B，则A、B两点在所求的圆上。（2）所求圆的圆心若设为（a, b），则有。（3）可由待定系数法，设出所求圆的方程：，这方程中含有三个待定系数得到三个方程，解方程组求出：a 、b 、R便可。另外，所求圆是过两相交圆的交点，则可由“圆系”方程，设出过两圆交点的圆的方程，进而求出圆心坐标（含待定系数1个）再将圆心坐标代入方程上，得解，于是得出如下解法：解法一：两圆交于由题设有 所求圆的方程为 即 解法二：设过两个已知圆的交点的圆的方程为：即：圆心为 圆心在直线上 有则所求的圆为： 即：小结：这两种方法虽然都是待定系数法，从待定系数个数看：解法一中有a,b R三个待定系数，而解法二中只有m一个待定第数，从计算量看，两解法都不繁琐。例2：求中心在原点，以坐标轴为对称轴，离心率为，且过点M（4，）的椭圆方程。分析：由题意随圆为标准方程，但焦点不明确，故而要考虑焦点在x轴或y轴的两种可能；由离心率可得含a、b的一个方程，再由点M 的坐标满足椭圆方程得出a、b的另一个方程，解方程组求出a、b就可得到椭圆方程。解：若椭圆焦点在x轴上，则设方程为将M点坐标代入方程得到：解方程组：解得： 因此椭圆方程为：若椭圆焦点在y 轴上，则设方程为：同上可得：将M点坐标代入这个椭圆方程中得到：解方程组：得到 因此椭圆方程为例3：求焦点是（0，），截直线所得弦的中点的横坐标是中心在原点的椭圆方程。分析：由题设知这是中心在原点，焦点在y轴的椭圆。直线与椭圆相交所得弦的中点横坐标已知是建立含待定系数a,b的一个方程，另一个是解方程组便可。另外也可以先设出直线与椭圆相交结的端点的坐标，由于两点在椭圆上，故而坐标满足椭圆方程，然后两式相减，若则：（直线的斜率）也可求出待定系数的值。解法一：设所求的椭圆为：代入化简为：解法二：设直线与椭圆相义于两点说明：本题解法一是规范的待定系数法的解法。解法二是利用曲线与方程的关系，化简得到这样两个“平方差”其中一个平方差这两个因式表示的分别是弦的中点横坐标的2倍，又因直线中斜率为2，因而直线与椭圆交点中，为些用去除等式的两边时，便得到的式子，而这正是直线l的斜率是已知的，为此较容易的得到a,b的一个方程，此法涉及到直线与圆锥曲线相交弦的中点有关问题时（若直线斜率未知也可以用此法求点）使用较简捷。例4：双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交于双曲线P，Q两点，若，求双曲线方程。分析：要求双曲线方程由于题设中焦点在x轴，因而方程为类型，其右焦点为F(c,o)，需建立起a,b为未知的两个方程，一个可利用，另一个利用通过图形关系完成向方程的转化。解：设所求的双曲线方程为,右焦点为F(c,0)由题设过F点的直线l方程为： 整理消去y 化为：()现分析的取值若=0，则有这显然与已知直线l 的斜率相等而已知直线l 平行于双曲线的渐近线，则直线l 与双曲线只能交于一点与题设矛盾， 因此若（）方程两个根为 则有：则：其中：例5：求下列抛物线的方程（1）顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上点（3，a）到焦点的距离是5；（2）顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线所得的弦长为。分析：（1）由题设抛物线焦点在y轴上，但开口方向并不明确，仍有两种情况：其焦点分别为：，准线方程分别为由抛物线定义得到，再由点（3，a）在抛物线上得到p,a的另一方程，消去a求得P .(2）由于焦点在x轴上，但不明确抛物线的开口方向，故而可设抛物线方程：通过题设条件，求得m值，便于确定方程。解：（1）由（2）得解得（2）设所求的抛物线方程为 小结：本题给出求抛物线方程的常用方法，主要是当题设只给出焦点所在的轴，而不明确开口方向时作为待定系数法的第一步：“假设方程”时的两类不同设。例6：如图，在面积为1的求出以M，N为交点且过点P的椭圆方程。分析：从图中和题设知所求椭圆的焦点在x轴上，而椭圆方程为形状，建立a,b的方程组，求出a,b由题意可设又 P为椭圆上的点，由椭圆定义有解法一：设所求的椭圆方程为焦点直线直线解法二：同解法一得 P点在椭圆上椭圆方程为解法三：作又已知：tgM=, 解法四：由余弦定理得：即：小结：本题比较新颖，题目在开始便给出“如图”这无疑给出了坐标系，否则若去掉“如图”这个词。则在解题开始便应该先建立适当的坐标系，难度显然加大了，解法也会随之发生变化。在以此显然将M，N两定点所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴建立的坐标系。如果改变坐标系的建立，如以M，N所在直线为y轴，线段MN的垂直平分线为x轴，那么又如何求P点所在的椭圆方程呢？可以自己试试。这里提供四种解法，解法一，解法二是单纯的典型的待定系数法通过解方程组求出两直线的交点，椭圆定义；弦长公式三角形面积公式等求出待定系数a,b的值来。解法规范，也是常用方法。解法三，是数形结合的使用，充分使用平面几何的处理方法，由三角形面积公式，启发作出轴于H点，多次使用解直角三角形的方法，得到与的数值，由椭圆定义写出方程，此法比前两种解法简捷。解法四是三角知识在解析法中的应用，主要因为题设给出的是内角的三角形数的值，由此容易联想到解中的正弦定理、余弦定理。来出求PMN的边的点来。以上是用待定系数法求曲线方程的（标准方程）简介，下一讲是用轨迹法求曲方程。【综合练习】：1求下列椭圆的标准方程（1）与椭圆有相同的焦点，过点（2）一个焦点为（0,1）长轴和短轴的长度之比为t.（3）椭圆过点。2求下列双曲线的标准方程（1）一个焦点是（4，0），一条渐近线是。（2）是渐近线与准线的交点。（3）焦点在x轴上的等轴双曲线截直线。3求过直线的交点，关于坐标轴对称的抛物线方程。4过椭圆的一个焦点作垂直于x轴的直线，交椭圆于M,N两点，A,B是长轴的两个端点，若。求椭圆方程。5已知双曲线的离心率为2，点为左、右焦点，P为双曲线上的点，求双曲线的标准方程。【答案及提示】1（1）（2）（3）2（1）