安徽太和中学高三数学一轮复习第3讲抛物线

第三讲 抛物线一、考情分析解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平二、知识归纳（一）抛物线的定义平面内，动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数，那么这个点的轨迹叫做抛物线其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率特征式：注：时，表示过定点，且与直线垂直的直线（不含点）（二）抛物线的方程（1）抛物线的标准式方程：表示顶点在，开口向右的抛物线；表示顶点在，开口向左的抛物线；表示顶点在，开口向上的抛物线；表示顶点在，开口向下的抛物线（2）抛物线的参数方程：（三）性质：对于抛物线而言，（1）范围：（2）对称性：图象只关于轴对称轴叫抛物线的对称轴（3）顶点：抛物线和对称轴的交点叫做抛物线的顶点（4）离心率： （5）准线方程：准线（6）焦准距：焦点到准线的距离（焦参数）（7）通径：经过焦点且垂直于对称轴的弦称之为通径，长度为 （9）焦半径公式： 三、精典例析（一）活用定义例1：定点是抛物线的焦点，是抛物线的点，求的最小值P解析： ，此时，引申：也适用于椭圆、双曲线例2：方程表示什么曲线？解析：设，则原方程等价于：，即：到定点的距离与它到定直线的距离之比为1，故原方程表示以定点为焦点，以定直线为准线的抛物线思：方程表示什么曲线？解析：，方程表示过定点，且与直线垂直的直线例3：抛物线，求其焦点及准线方程解析：显然，；（1）当时，抛物线开口向右，焦点是；准线是；（2）当时，抛物线开口向右，焦点是；准线是；综上，抛物线的焦点是；准线是例4：抛物线的弦，求弦的中点到轴的距离的最小值解析：如图所示， ，故弦的中点到轴的距离的最小值是探究：上例中，没有限制条件“”，又如何求解呢？即：抛物线的动弦，求弦的中点到轴的距离的最小值解析：显然，弦的斜率存在，设弦所在的直线方程是，则：，且；，；，当且仅当时，取等号（1）当时，等号可以取得，；（2）当时，等号不能取得，此时，在时单调递增，则：综上，当时， ；当时， （二）焦点弦/M/例5：过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，弦的倾斜角为，证明：（1）； F（2）；（3）；B/（4）以弦为直径的圆与准线相切解析：设直线的方程是，则：，（1）（2）；（3），或；（4）设弦的中点到准线的距离为，则：，故以弦为直径的圆与准线相切（三）直线与抛物线的位置关系例6：过点的直线与抛物线只有一个公共点，求直线的方程解析：（1）直线的斜率不存在时，直线，适合题意；（2）直线的斜率存在时，设直线，则：，当时，直线，适合题意；当时，此时，直线；综上，直线的方程为：，或，或例7：设抛物线的焦点为，过作一条直线，过顶点的切线与分别交于，则直线与抛物线相切的充要条件是解析：不失一般性，设，则：，过顶点的切线为：， ；又，则直线与抛物线相切且（四）定点（值）问题例8：直线与抛物线交于不同的两点（不同于原点），证明：过定点解析：解析：（1）若直线的斜率存在时，设，则：， 若直线的斜率存在时，此时，故直线与抛物线交于，且过，证明：（2）设，则：，若时，直线的斜率为：，即直线过定点若时，直线过定点故直线与抛物线交于，且过，则直线过例9（05年江西卷）如图，M是抛物线上上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且OABEFM （1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值； （2）若M为动点，且，求EMF的重心G的轨迹解析：（1）设，直线ME的斜率为，方程为，则：， ，；直线MF的斜率为，方程为，则：， ，；(定值)故直线EF的斜率为定值（2）当时，此时，直线ME的方程为，则：；同理可得；设EMF重心，则：故（五）轨迹问题例10：过定点的直线与抛物线交于不同的两点，求以为邻边的平行四边形的第四个顶点的轨迹解析：显然，直线的斜率存在，且不为零法1：设，则：，且；为平行四边形的邻边，点的轨迹是，轨迹如图法2：设，则：，平行四边形的中心必在抛物线内，即，点的轨迹是，轨迹如图（参阅法1）例11：（05广东卷）在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）（）求得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解析：（I）设AOB的重心为，则：， 点A、B在抛物线上，故重心为G的轨迹方程为（II） ，当且仅当时，等号成立故AOB的面积存在最小值，且最小值1（六）综合应用例12：（05年全国卷III）设两点在抛物线上，是的垂直平分线（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（2）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围解析：（1）两点到抛物线的准线的距离相等，抛物线的准线是轴的平行线，依题意不同时为0，；，；故当且仅当时，经过抛物线的焦点（2）设在轴上的截距为，则直线的方程为，过点的直线方程可设为，则：，且，设的中点的坐标为，则：，故直线在轴上截距的取值范围为例13：（05年浙江卷）设点和抛物线，其中由以下方法得到：，点在抛物线上，点到的距离是到上点的最短距离，点在抛物线上，点到的距离是 到上点的最短距离（1）求及的方程；（2）证明：是等差数列解析：（1），设点是上任意一点，则：，令，则：，又，故，方程为（2）设点是上任意一点，则：，令，则：，又，当时， ；当时，；当时，；猜想：下面用数学归纳法证明当时，等式成立假设当时，等式成立，即，则：当时， ，又，即当时，等式成立综上，等式对成立例14：（05年上海卷）已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为（1）求抛物线方程；（2）过作，垂足为N，求点N的坐标；（3）以为圆心，MB为半径作圆，当是轴上一动点时，讨论直线AK与圆的位置关系解析：（1）抛物线的准线为，则：，抛物线方