公务员考试数学基本知识

一、整除及余数判定基本法则（1）2、4、8整除及余数判定基本法则一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除。一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除。一个数能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数被2（或5）除得的余数。一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数被4（或25）除得的余数。一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数被8（或125）除得的余数。(2) 3、9整除及余数判定基本法则一个数能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除。一个数能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除。一个数被3除得的余数，就是其各位数字之和被3除得的余数。一个数被9除得的余数，就是其各位数字之和被9除得的余数。(3) 7整除判定基本原则一个数是7的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为7的倍数。如362,483。一个数是7的倍数，当且仅当其末三位与剩下的数之差为7的倍数。如12047,23015。(4) 11整除判定基本原则一个数是11的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和做的差为11的倍数。一个数是11的倍数，当且仅当其末三位与剩下的数之差为11的倍数。(5) 13整除判定基本法则一个数是13的倍数，当且仅当其末三位与剩下的数之差为13的倍数。二、比例倍数若ab=mn，则说明a占m份，是m的倍数；b占n份，是n的倍数；a+b占m+n份，是m+n的倍数；a-b占m-n份，是m-n的倍数。三、十字交叉法Aa+Bb=（A+B）r A/B=(r-b)/(a-r) A：a r-b r B：b a-r四、极值求解法1、均值不等式法： 当且仅当a=b时等号成立。 当且仅当a=b=c时等号成立推广：2、一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取到最大或最小值时，其导数为零。五、代数工具一元二次方程axbxc=0（a0），当b4ac0时有x=二次函数y=axbxc（a0），当x=时该函数有最大值或最小值平方差公式：ab=(ab) (ab)完全平方公式：(ab) = a2abb (ab) = a2abb完全立方公式：(ab) = a3ab3ab +b (ab)= a3ab3abb立方和差公式：ab=(ab)(aabb)ab=(ab)(aabb) 幂次运算：aman=am+n （am）n=amn （ab）m=ambm六、乘方尾数口诀1、底数留个位；2、指数末两位除以4留余数（余数为0则看作4） 37424998224 32020341七、“除以7”乘方余数核心口诀1、底数除以7留余数2、指数除以6留余数（余数为0则看作6） 93766除以7余数是（ ） 9376624162八、数列公式等差数列：平均数=中位数=（首数+尾数）2求和公式：Sn=n（a1an）/2=平均数项数=中位数项数项数公式：n=（an-a1）/d1级差公式：anam=（nm）d 对称公式：anamaiaj，其中mnij等比数列：对称公式：anamaiaj，其中mnij 求和公式：Sn （） = （q = 1）平方数列：求和公式：=1 23nn（n1）（2n1）/6立方数列：求和公式：=132333n3n（n1）/22九、容斥原理1、满足条件1的个数满足条件2的个数两者都满足的条件总个数两者都不满足的个数2、ABCABCABBCACABC3、在三集合题型中，假设满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W，其中：满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，则 Wxyz ABCx1y2z3十、排列组合之错位排列问题有N封信和N个信封，每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数计作Dn，则D10，D21，D32，D49，D544，D6=265，n个人围成一圈，不同的排列方法有（n-1）！种。十一、概率1、总体概率满足条件的各种情况概率之和2、分步概率满足条件的每个步骤概率之积3、某条件成立概率1该条件不成立的概率4、几何概率：满足条件的概率满足条件的几何区域面积总几何面积5、条件概率：“A成立”时“B成立”的概率A、B同时成立的概率A成立的概率6、概率期望：各个实现值乘各自的概率，最后再相加7、最不利原则：考虑对需要满足的条件“最不利”的情形，最后“1”即可。8、如果在1次试验中，事件A发生的概率为P，则在n次独立重复试验中，事件A发生K次的概率P（K）=CknPk（1-P）n-k十二、溶液问题：1、溶液溶质溶剂溶质浓度； 浓度溶质溶液； 溶质溶液浓度2、浓度分别为a%、b%的溶液，质量分别为M、N，交换质量L后浓度都变成c%，则 c%（a%Mb%N）/（MN） （ML）/LL/（NL）LMN/（MN）3、混合稀释型 溶液倒出比例为a的溶液，再加入相同的溶剂，则浓度变为原来的（1a） 溶液加入比例为a的溶剂，再倒出相同的溶液，则浓度变为原来的1/(1a）十三、牛吃草问题核心公式：y（NX）T y原有存量（如原有草量） N促使原有存量减少的变量（如牛数） X存量的自然增长速度（如草长速度） T存量完全消失所耗用的时间如果草场有面积区别，如“M头牛吃W亩草”时，N用“M/W”代入，此时N代表单位面积上的牛数。十四、调和平均数公式：a2a1a2/(a1a2)等距离平均速度核心公式：V2V1V2/（V1V2）若物体前一半路程以速度V1运动，后一半路程以速度V2运动，则全程的平均速度为2V1V2/（V1V2）。若物体前一半时间以速度V1运动，后一半时间以速度V2运动，则全程的平均速度为（V1V2）/2。 等价格平均价格核心公式：P2P1P2/（P1P2）等溶质增减溶剂核心公式：r22r1r3 /（r1r3）（r1、r2、r3分别代表连续变化的浓度）十五、钟表问题1、 设钟表一圈分成了12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。2、 时针一昼夜转2圈，1小时转1/12圈；分针一昼夜转24圈，一小时转1圈。3、 钟面上每两格之间30，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。十六、三位数的页码数公式 页码数数字数336十七、余数同余口诀核心知识 “余同取余，和同加和，差同减差，公倍数做周期”1、 余同：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，则取1，表示为60n12、 和同：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，则取7，表示为60n73、 差同：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，”则取-3，表示为60n-3选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的60n）都满足条件。注意：n的取值范围为整数，即可以取负值，也可以取零值。十八、星期日期问题1、 当条件中出现“连续多个日期之和”或“连续某个星期几的日期之和”时，这些日期本质上都是等差数列，可以通过计算其“平均数”来定位这些日期的“中位数”，从而完成答题。2、 当题目要求我们推断某日式星期几的时候，如果条件日期与提问日期相差若干年时，我们一般采用以下办法：如果所有的年都不是闰年，那么每年都是365天，而3657521，那么问“365天之后（即1年之后）星期几”就等同于问“1天之后是星期几”，问“N年之后星期几”就等同于问“N天之后星期几”。中间有几个闰年，再加几天就是了。十九、匀加速问题 VtV0at SV0tat2/2(V0Vt)t/2二十、相对速度问题1、 相遇追及型相遇问题：相遇距离（大速度小速度）相遇时间追及问题：追及距离（大速度小速度）追及时间背离问题；背离距离（大速度小速度）背离时间2、 环形运动型反向运动：环形周长（大速度小速度）相遇时间同向运动：环形周长（大速度小速度）相遇时间3、 流水行船型顺流路程顺流速度顺流时间（船速水速）顺流时间逆流路程逆流速度逆流时间（船速水速）逆流时间船速（顺流速度逆流速度）2水速（顺流速度逆流速度）24、 扶梯上下型扶梯总长人走的阶数（1V梯/V人），顺行用加法，逆行用减法5、 队伍行进型队头队尾：队伍长度（人速队伍速度）时间队尾队头：队伍长度（人速队伍速度）时间6、 往返相遇型 两个人从两端出发，相向而行，到达对面终点后立即返回，如此往复，那么：两人第1,2,3,4次迎面相遇时，两人的路程之和分别为1，3,5,7个全程。两人第1,2,3,4次追上相遇时，两人的路程之差分别为1，3,5,7个全程。 两人从同一端出发，到达终点后立即返回，如此往复，那么：两人第1,2,3,4次迎面相遇时，两人的路程之和分别为2,4,6,8个全程。两人第1,2,3,4次追上相遇时，两人的路程之差分别为2,4,6,8个全程。7、 等间距同向反向间距相等的情况下，同方向运动时间与反方向运动时间之比：t同/t反=v1+v2/v1-v28、 无动力顺水漂流：漂流所需时间=2t逆t顺/t逆-t顺（其中t逆和t顺分别代表船逆流和顺流所需时间）9、 火车问题火车过桥总路程桥长车长错车总路程两车速度和错车时间即S1S2（v1v2）t二十一、几何公式1、 几何周长核心公式正方形C正方形4a； 长方形C长方形2（a+b）； 圆形C圆2 r；扇形C扇形=n/3602 r2、 几何面积核心公式正方形S正方形a2； 长方形S长方形ab； 圆形S圆 r2三角形S三角形1/2ah=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA；平行四边形S平行四边形ah； 梯形S梯形1/2（a+b）h；扇形S扇形=n/360 r2正方体表面积=6a2；长方体表面积=2（ab+bc+ac）；球表面积=4 r2d23、 几何体积核心公式正方体体积=a3； 长方体体积=abc； 球体积=4/3 r2圆柱体体积= r2h；圆锥体体积=1/3 r2h=1/3Sh4、 勾股定理常见勾股数直角边369121551078直角边4812162012242415斜边51015202513262517 N边形内角和为（N2）180二十二、几何特性法1、 等比放缩型一个几何图形，若其尺度变为原来的m倍，则 所有对应角度不发生改变 所有对应长度变为原来的m倍 所有对应面积变为原来的m2倍 所有对应体积变为原来的m3倍2、 几何最值型 平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大 平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小 立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大 立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小3、 三边关系型三边长均为整数且最大边长为n的三角形共有多少个？答案：n+（n2）+（n4）+这个加和一直加完所有的正整数，如果n为奇数，那就加到1；如果n为偶数，那就加到2.4、相似图形面积比是相似比平方，体积比是相似比立方。5、正四面体常用参数：二十三、几何边端问题1、 植树型单边线型植树公式：棵树总长间隔1；总长（棵树1）间隔单边环型植树公式：棵树总长间隔；总长棵树间隔单边楼间植树公式：棵树总长间隔1；总长（棵树1）间隔2、 排队型队伍共有N人，A排在第M位，则N前面有（M1）人，后面有（NM）人。3、 爬楼型从地面爬到第N层楼，要爬（N1）层；从第M层爬到第N层，要爬（MN）层。4、 截管型将钢管截为N段，需要截（N1）次。 5、减绳计数 绳子对折n次从中间剪开得2n1段绳子。6、方阵型 相邻两层数量相差8，特例：最外层每边人数是奇数，从内到外的人数为1、8、16，相差7 实心方阵人数最外层每边人数2 空心方阵人数利用等差数列公式求和公式计算：首项是最外层人数，公差是-8. 方阵每层总人数每边人数44二十四、趣味杂题模块1、 比赛问题N支队伍进行循环赛，每支队伍需要和其他任意队伍进行一场比赛，所以每支队伍需要进行（N1）场比赛；由于每场比赛都是两个队伍共同进行，所以总场次应该是N（N1）/2场。2、 拆数求积问题将一个正整数（2）拆成若干自然数之和，要使这些自然数的乘积尽可能的大，那么我们应该这样来拆数：全部拆成若干个3和少量2（0个2，1个2，或2个2）之和即可。3、 空瓶换酒问题“M个空瓶换N瓶酒”相当于“（MN）个空瓶换N个（无瓶）酒”4、 过河爬井问题M个人过河，船上能载N个人，若需要n人划船，则共需过河（Mn）/（Nn）次井深M米，每天爬N米，下滑n米，则共需（Mn）/（Nn）天。二十五、基础数列两两做差之后得到“1,2,2,4”或者其倍数形式，如“2,4,4,8”“3,6,6,12”等等，说明原数列很可能与质数数列有关。二十六、常用幂次数平方数底数1234567891011平方149162536496481100121底数1