精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三9月大联考数学（理）试题（解析版）.docVIP

衡水金卷2018届全国高三大联考理数第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，N=x|2x4，则（ ）A. B. MN=RC. D. 【答案】C【解析】.所以,.故选C.2. 记复数z的虚部为Im(z)，已知复数（i为虚数单位），则Im(z)为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】B【解析】.故的虚部为-3，即.故选B.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由fx=2x2，得，故sin2-cos22sincos+cos2=tan2-12tan+1=35.故选C.4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A. B. C. 3635mm2 D. 【答案】B【解析】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为，设军旗的面积为S，由题意可得：.本题选择B选项.5. 已知双曲线：（，）的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】圆：x2+y2-2x+4y=0的圆心为，双曲线的渐近线为.依题意得.故其离心率为.故选A.6. 已知数列为等比数列，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】依题意，得，所以.由,得，或（由于与同号，故舍去）.所以.故选A.7. 执行如图的程序框图，若输出的S的值为，则中应填（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由图，可知S=-1+2+-3+4+-17+18-19=9-19=-10.故中应填n19?.故选C.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，f(x)=ex+1mcosx，记，则，间的大小关系是（ ）A. B. acb C. cba D. 【答案】D【解析】函数fx是奇函数，则f0=e0+1mcos0=0,m=0，即当时，fx=ex+1，构造函数，满足，则函数是偶函数，则，当时，据此可得：，即偶函数在区间上单调递减，且：a=g2=g2,b=g1=g1,c=g3，结合函数的单调性可得：，即：caTn恒成立，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】已知， ，两式子做差得到 ，故数列是等差数列，由等差数列的通项公式得到 ，故bn= ，故裂项求和得到 ，由条件kTn恒成立，得到K的最小值为149故答案选B点睛：本题考查到了通项公式的求法， 从而得到数列是等差数列，再求出 ，根据裂项求和的方法可以求出前n项和。第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知在ABC中，AB=(1,2)，若边的中点的坐标为(3,1)，点的坐标为(t,2)，则t=_.【答案】【解析】依题意，得BC=|AC|，故ABC是以为底边的等腰三角形，故CDAB，所以CDAB=3-t,-11,2=3-t-2=0.所以.14. 已知(x12x)n（）的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p、，则的最小值为_.【答案】16【解析】显然p=2n.令x=1，得.所以p+64q=2n+642n22n642n=16.当且仅当.即n=3时，取等号，此时p+64q的最小值为16.15. 已知，y满足3x+yt,x6,y0,其中t2，若sin(x+y)的最大值与最小值分别为1，12，则实数的取值范围为_.【答案】56,76【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设z=x+y，作出直线l:x+y=z，当直线l过点B(6,0)时，取得最小值6；当直线过点A(6,t-2)时，取得最大值t-3.即6x+yt-3，当x+y=6或56时，sinx+y=12.当x+y=2时，sinx+y=1.所以2t-356，解得56t76.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑MABC中平面ABC，MA=AB=BC=2，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_.【答案】2482【解析】设的中点为，如图，由AB=BC=2，且为直角三角形，得ABC=90.由MA,AB,BC两两垂直，可知为RtMAC和RtMBC的斜边，故点到点M,A,B,C的距离相等，故点为鳖臑的外接球的球心，设高鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为R,r,则由MA2+AB2+BC2=(2R)2.得4+4+4=4R2，解得R=3.由等体积法，知13SABC+SMAC+SMAB+SMBCr=13SABCMA.即1312222+2222r=1312222，解得r=2-1.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为4(R2+r2)=43+3-22=24-82.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数f(x)=cos2x+3sin(x)cos(+x)12，.（1）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）在锐角ABC中，内角，的对边分别为，已知f(A)=1，bsinC=asinA，求的面积.【答案】(1)，x=k2+3（）；(2)934.【解析】试题分析：（1）化简函数得f(x)=-sin(2x-6)，其最小正周期T=22=，令2x-6=2+k(kZ)即可解得对称轴；（2）由f(A)=-1，解得A=3，由正弦定理及bsinC=asinA，得bc=a2=9，利用SABC=12bcsinA即可得解.试题解析：（1）原式可化为，f(x)=cos2x-3sinxcos-12，=1+cos2x2-32sin2x-12，=sin(6-2x)=-sin(2x-6)，故其最小正周期T=22=，令2x-6=2+k(kZ)，解得x=k2+3(kZ)，即函数图象的对称轴方程为，x=k2+3(kZ).（2）由（1），知f(x)=-sin(2x-6)，因为0A2，所以-62A-656.又f(A)=-sin(2A-6)=-1，故得2A-6=2，解得A=3.由正弦定理及bsinC=asinA，得bc=a2=9.故SABC=12bcsinA=934.18. 如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中CD/AB，BCAB，侧面平面ABCD，且AB=AE=BE=2BC=2CD=2，动点在棱上，且EF=FA.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当=1时，求直线与平面BDF所成的角的正弦值.【答案】(1)当=12时，CE/平面BDF.证明见解析；(2)15.【解析】试题分析：（1）连接交BD于点G，连接GF，通过证得GF/CE，即可证得平面BDF；（2）取AB的中点O,连接EO，可得OA,OD,OE两两垂直，建立空间直角坐标系，设CE与平面BDF所成的角为，则sin=|cos|，n为平面BDF的一个法向量.试题解析：（1）当=12时，CE/平面BDF.证明如下：连接AC交于点G，连接.CD/AB,AB=2CD，CGGA=CDAB=12.EF=12FA，EFFA=CGGA=12.GF/CE.又平面，GF平面BDF，CE/平面.（2）取的中点,连接.则EOAB.平面ABE平面ABCD，平面平面ABCD=AB，且EOAB，EO平面ABCD.BO/CD，且BO=CD=1，四边形为平行四边形，BC/DO.又BCAB，AB/DO.由OA,OD,OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0,-1,0)，D(1,0,0)，C(1,-1,0)，E(0,0,3).当=1时，有EF=FA，可得F(0,12,32).BD=(1,1,0)，CE=(-1,1,3)，BF=(1,32,32).设平面BDF的一个法向量为n=(x,y,z)，则有nBD=0,nBF=0,即x+y=0,32y+32z=0,令z=3，得y=-1，x=1.即n=(1,-1,3).设与平面BDF所成的角为，则sin=|cos|= |-1-1+3|55=15.当=1时，直线CE与平面BDF所成的角的正弦值为15.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）经常使用网络外卖偶尔或不用网络外卖合计男性5050100女性6040100合计11090200（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为A市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；将频率视为概率，从A市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X，求X的数学期望和方差.参考公式：K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.参考数据：P(K2k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635【答案】(1)不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用网络外卖情况与性别有关；(2)710；答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题意结合列联表计算可得可知K2的观测值k2 2.0202.072，所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用网络外卖情况与性别有关；(2)依题意可得经常使用网络外卖的有3人，偶尔或不用网络外卖的有2人.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为710.由题意可得，随机变量服从二项分布XB(10,1120)，则E(X)=112；D(X)=9940.试题解析：（1）由列联表可知K2的观测值k2 =n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200(5040-5060)2110901001002.020b0)的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为12，短轴长为23.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F1的直线l1与椭圆C交于，两点，过点F2的直线与椭圆C交于P，两点，且l1/l2，证明：四边形MNPQ不可能是菱形.【答案】(1)x24+y23=1；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由ca=12，b=3及c2=a2-b2，可得方程；（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为x=my-1与椭圆联立得(3m2+4)y2-6my-9=0，令直线PQ的方程为x=my+1，可得|MN|=|PQ|，进而由MNPQ是菱形，则OMON，即OMON=0，于是有x1x2+y1y2=0由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得ca=12，b=3，又c2=a2-b2，故解得a2=4,b2=3，所以椭圆的标准方程为x24+y23=1.（2）由（1），知F1(-1,0)，如图，易知直线MN不能平行于轴.所以令直线MN的方程为x=my-1，M(x1,y1)，N(x2,y2).联立方程3x2+4y2-12=0,x=my-1,，得(3m2+4)y2-6my-9=0，所以y1+y2=6m3m2+4，y1y2=-93m2+4.此时MN=(1+m2)(y1+y2)2-y1y2，同理，令直线的方程为x=my+1，P(x3,y3)，Q(x4,y4)，此时y3+y4=-6m3m2+4，y3y4=-93m2+4，此时PQ=(1+m2)(y3+y4)2-4y3y4.故|MN|=|PQ|.所以四边形MNPQ是平行四边形.若MNPQ是菱形，则OMON，即OMON=0，于是有x1x2+y1y2=0.又x1x2=(my1-1)(my2-1)，=m2y1y2-m(y1+y2)+1，所以有(m2+1)y1y2-m(y1+y2)+1=0，整理得到-12m2-53m2+4=0，即12m2+5=0，上述关于m的方程显然没有实数解，故四边形MNPQ不可能是菱形.21. 已知函数f(x)=ex(1+a)xb（，），其中e为自然对数的底数.（1）讨论函数f(x)的单调性及极值；（2）若不等式f(x)0在xR内恒成立，求证：b(a+1)20演技单调性及极值即可；（2）当a-1时，f(x)在R内单调递增，可知f(x)0在xR内不恒成立，当a-1时，f(x)min=f(ln(1+a)= a+1-b-(a+1)ln(a+1)0，即a+1-(a+1)ln(a+1)b，所以(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).令g(x)=x2-x2lnx(x0)，进而通过求导即可得最值.试题解析：（1）由题意得f(x)=ex-(1+a).当1+a0，即a-1时，f(x)0，f(x)在R内单调递增，没有极值.当1+a0，即a-1，令f(x)=0，得x=ln(a+1)，当xln(a+1)时，f(x)ln(a+1)时，f(x)0，f(x)单调递增，故当x=ln(a+1)时，f(x)取得最小值f(ln(a+1)=a+1-b-(1+a)ln(a+1)，无极大值.综上所述，当a-1时，f(x)在R内单调递增，没有极值；当a-1时，f(x)在区间(-,ln(1+a)内单调递减，在区间(ln(1+a),+)内单调递增，f(x)的极小值为a+1-b-(1+a)ln(a+1)，无极大值.（2）由（1），知当a-1时，f(x)在R内单调递增，当a=-1时，b(a+1)2=034成立.当a-1时，令c为-1和1-b1+a中较小的数，所以c-1，且c1-b1+a.则exe-1，-(1+a)c-(-b+1).所以f(c)=ex-(1+a)c-be-1-(1-b)-b-1时，f(x)min=f(ln(1+a)= a+1-b-(a+1)ln(a+1)0，即a+1-(a+1)ln(a+1)b，所以(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).令g(x)=x2-x2lnx(x0)，则g(x)=x(1-2lnx).令g(x)0，得0xe，令g(x)e，故g(x)在区间(0,e)内单调递增，在区间(e,+)内单调递减.故g(x)max=g(e)=e-elne=e2，即当a+1=ea=e-1时，g(x)max=e2.所以(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1)e2.所以b(a+1)2e4.而e3，所以b(a+1)20就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f(x)min0 ，若f(x)0恒成立f(x)maxg(x) 恒成立，可转化为f(x)ming(x)max请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中xOy中，已知曲线C的参数方程为x=tcos,y=sin（t0，为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2sin(+4)=3.（1）当t=1时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；（2）若曲线C上的所有点都在直线l的下方，求实数t的取值范围.【答案】(1)dmax=322+1；(2)(0,22).【解析】试题分析：(1)由题意结合点到直线距离公式可得距离的解析式为d=2sin+4-32，