人教B版选修11 第三章 3．1.2　瞬时速度与导数 课件（31张）.pptx

3 1 2瞬时速度与导数 第三章 3 1导数 学习目标1 理解从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程 2 了解导数的概念 知道瞬时变化率就是导数 3 掌握函数在某一点处的导数的定义 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一瞬时变化率 思考1物体的路程s与时间t的关系是s t 5t2 试求物体在 1 1 t 这段时间内的平均速度 思考2当 t趋近于0时 思考1中的平均速度趋近于多少 怎样理解这一速度 梳理 1 物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是s f t 当时 当 t趋近于0时 函数f t 在t0到t0 t的平均变化率趋近于常数 这个常数称为t0时刻的瞬时速度 2 函数的瞬时变化率设函数y f x 在x0附近有定义 当自变量在x x0附近改变 x时 函数值相应地改变 y f x0 x f x0 如果当 x趋近于0时 平均变化率趋近于一个常数l 则常数l称为函数f x 在点x0的瞬时变化率 t0到t0 t 知识点二函数的导数 思考f x0 与f x 表示的意义一样吗 答案f x0 表示f x 在x x0处的导数 是一个确定的值 f x 是f x 的导函数 它是一个函数 f x0 是导函数f x 在x x0处的函数值 梳理 1 函数f x 在x x0处的导数 函数y f x 在x x0处的称为函数y f x 在x x0处的导数 记作 即f x0 瞬时变化率 f x0 或 2 导函数定义如果f x 在开区间 a b 内每一点x导数都存在 则称f x 在区间 a b 可导 这样 对开区间 a b 内每个值x 都对应一个 于是在区间 a b 内f x 构成一个新的函数 我们把这个函数称为函数y f x 的导函数 记为f x 或yx y 确定的导数f x 3 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是导函数f x 在点x x0处的函数值 即f x0 思考辨析判断正误 1 函数在某一点处的导数即是函数在该点处的瞬时变化率 2 平均变化率刻画函数在区间上的变化的快慢 瞬时变化刻画的是函数在某一点处的变化情况 3 f x 在x x0处的导数就是导数f x 在x x0处的函数值 题型探究 类型一求函数在某一点处的导数 解答 例1求y x2在点x 1处的导数 解 y 1 x 2 12 2 x x 2 y x 1 2 反思与感悟求函数y f x 在点x0处的导数的步骤 1 求函数的增量 y f x0 x f x0 答案 解析 2 求y 2x2 4x在点x 3处的导数 解答 解 y 2 3 x 2 4 3 x 2 32 4 3 所以y x 3 16 类型二求物体运动的瞬时速度 例2某物体的运动路程s 单位 m 与时间t 单位 s 的关系可用函数s t t2 t 1表示 求物体在t 1s时的瞬时速度 解答 物体在t 1处的瞬时变化率为3 即物体在t 1s时的瞬时速度为3m s 引申探究1 若本例的条件不变 试求物体的初速度 解答 物体在t 0处的瞬时变化率为1 即物体的初速度为1m s 2 若本例的条件不变 试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m s 解答 则2t0 1 9 t0 4 则物体在4s时的瞬时速度为9m s 解设物体在t0时刻的瞬时速度为9m s 反思与感悟 1 不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题 2 求运动物体瞬时速度的三个步骤 求时间改变量 t和位移改变量 s s t0 t s t0 跟踪训练2一质点m按运动方程s t at2 1做直线运动 位移单位 m 时间单位 s 若质点m在t 2s时的瞬时速度为8m s 求常数a的值 解答 解质点m在t 2时的瞬时速度即为函数在t 2处的瞬时变化率 类型三导数的实际意义 例3一条水管中流出的水量y 单位 m3 是时间x 单位 s 的函数y f x x2 7x 15 0 x 8 计算2s和6s时 水管流量函数的导数 并说明它们的实际意义 解答 解在2s和6s时 水管流量函数的导数为f 2 和f 6 即在2s时的水流速度为11m3 s 同理可得在6s时的水流速度为19m3 s 在2s与6s时 水管流量函数的导数分别为11与19 它说明在2s时附近 水流大约以11m3 s的速度流出 在6s时附近 水流大约以19m3 s的速度流出 反思与感悟导数实质上就是瞬时变化率 它描述物体的瞬时变化 例如位移s关于时间t的导数就是运动物体的瞬时速度 气球体积v关于半径r的导数就是气球的瞬时膨胀率 跟踪训练3服药后 人体血液中药物的质量浓度y 单位 g ml 关于时间t 单位 min 的函数为y f t 假设函数y f t 在t 10和t 100处的导数分别为f 10 1 5和f 100 0 60 试解释它们的实际意义 解答 解f 10 1 5表示服药后10min时 血液中药物的质量浓度上升的速度为1 5 g ml min f 100 0 6表示服药后100min时 血液中药物的质量浓度下降的速度为0 6 g ml min 达标检测 1 如果某物体的运动方程为s 2 1 t2 s的单位为m t的单位为s 那么其在1 2s末的瞬时速度为a 4 8m sb 0 88m sc 0 88m sd 4 8m s 答案 1 2 3 4 5 解析物体运动在1 2s末的瞬时速度即为s在1 2处的导数 利用导数的定义即可求得 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 3 函数f x 在x0处可导 则a 与x0 h都有关b 仅与x0有关 而与h无