高中数学第一章例题与探究.docx

1.4 三角函数的图象与性质典题精讲例1（安徽高考卷，理8）设a0，对于函数f(x)=(0x)，下列结论正确的是（ ）A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值思路解析：令t=sinx,t(0,1，则函数f(x)= (0x)的值域为函数y=1+,t(0,1的值域，又a0，所以y=1+,t(0,1是一个减函数，故选B.答案：B绿色通道：本题的解法对形如y=或y=的函数的值域（或最大值、最小值）问题具有一般性.变式训练求函数y=的值域.思路分析：此类题型可转化为分式函数的值域的求法，即分离常数法，或通过反解sinx法，利用sinx的值域确定函数的值域.解：由y=,得sinx=.|sinx|1,|1.解得-2y.ymax=，此时sinx=1时； ymin=-2，此时sinx=-1时.函数的值域为-2, .例2求下列函数的周期：（1）y=cos2x；（2）y=-2cos(-x-1)；（3）y=|sin2x|；（4）y=cos3x+sin2x.思路分析：（1）复合函数，可以通过变量替换归结为基本三角函数去处理；（2）先用诱导公式将转为正值，再用T=；（3）可利用绝对值的意义；（4）可用最小公倍数法.解：（1）把2x看成一个新的变量u，那么cosu的最小正周期是2，即u增加到u+2，且必须增加到u+2时，函数cosu的值重复出现，而u+2=2x+2=2(x+)，所以当自变量x增加到x+且必须增加到x+时函数值重复出现，因此y=cosx的周期为.（2）y=-2cos(-x-1)=-2cos(x+1),T=4.（3）通过画图知y=|sinx|的周期是=，故y=|sin2x|的周期是.（4）y1=cos3x的周期T1=；y2=sin2x的周期T2=，因为T1=,T2=且4与6的最小公倍数是12，所以T=2.绿色通道：周期的求法除应用定义及有关结论公式外，还可以作出图象，由图象直观判断求出周期，也是一种重要方法，另外最小公倍数法也要灵活掌握.变式训练（2006湖南高考卷，文8）设点P是函数f(x)=sinx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值为，则f(x)的最小正周期是（ ）A.2 B. C. D.思路解析：通过图象分析，可以知道对称中心与最近对称轴的距离为,P到对称轴的最小距离为,最小正周期T=4=.答案：B例3（江苏高考卷，1）已知R，函数f(x)=sinx-|a|,xR为奇函数，则a的值为（ ）A.0 B.1 C.-1 D.1思路解析：解法1：由题意可知f(x)=-f(-x),得a=0.解法2：函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,解得a=0.解法3：由f(x)是奇函数图象法函数画出f(x)=sinx-|a|,xR的图象.答案：A绿色通道：对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称.若函数f(x)为奇函数f(-x)=-f(x)y=f(x)的图象关于原点对称.若函数f(x)为偶函数f(-x)=f(x) y=f(x)的图象关于y轴对称.变式训练（2006北京高考卷，文2）函数y=1+cosx的图象（ ）A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线x=对称思路解析：函数y=1+cosx是偶函数，因此图象关于y轴对称.答案：B例4（全国高考巻，理17）设函数f(x)=sin(2x+)(-0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.（1）求；（2）求函数y=f(x)的单调增区间；（3）画出函数y=f(x)在区间0，上的图象.思路分析：求值可利用对称轴来解决；求函数的单调区间要注意“整体性”原则；画函数图象时用“五点法”即可.解：（1）x=是函数y=f(x)的图象的对称轴，sin(2+)=1,+=k+,kZ.-0,当k=-1时，=-.（2）由（1）知=-，因此y=sin(2x-)单调递增的区间为2k2x-2k+ (kZ).则函数y=sin(2x-)的单调增区间为k+,k+（kZ）.（3）由y=sin(2x-)知x0y-1010-故函数y=f(x)在区间0,上的图象如图1-4-2所示：图1-4-2绿色通道：高考也侧重基础知识、基本技能的考查，而三角函数是高考考查的重点内容之一，三角函数的图象与性质也经常在高考题中出现，熟练掌握三角函数的图象与性质是解决此类问题的关键.变式训练（2006福建高考卷，理9）已知函数f(x)=2sinx(0)在区间-,上的最小值是-2，则的最小值等于（ ）A. B. C.2 D.3思路解析：函数f(x)=2sinx(0)在区间-,上的最小值是-2，则的取值范围是-,，且-或，的最小值等于.答案：B问题探究问题很多三角函数都是周期函数，你有几种方法来确定三角函数的周期呢？导思：周期的求法可以应用定义及有关结论公式外，还可以作出图象，由图象直观判断求出周期，也是一种重要方法，当然最小公倍数法也要灵活掌握.探究：（1）定义法：如y=2sin(+2)=2sin(x+4)-=2sin(-),y=2sin(-)的周期是4.（2）公式法：一般地，函数y=Asin(x+)或y=Acos(x+)（其中A、为常数，A0，0）的周期T=，函数y=Atan(x+)（其中A、为常数，A0，0）的周期T=.如y=2sin(-)的周期T=4