ax2的图象与性质习题课件 华东师大版

27 2二次函数的图象与性质1 二次函数y ax2的图象与性质 1 会用描点法画二次函数y ax2 a 0 的图象 重点 2 掌握二次函数y ax2的性质 重点 难点 3 通过数形结合初步理解二次函数的性质 培养学生的观察能力 抽象概括能力 难点 在直角坐标系中 画二次函数y 4x2的图象 解 列表 16 4 4 16 在直角坐标系中描点 然后用光滑的 顺次连结各点 得到函数y 4x2的图象 如图所示 曲线 思考 1 观察函数y 4x2的图象 这个函数的图象是一条 填 直 或 曲 线 2 函数y 4x2的图象是否是轴对称图形 若是 则它的对称轴是什么 提示 函数y 4x2的图象是轴对称图形 它的对称轴是y轴 3 函数y 4x2的图象在y轴的左边和右边各自有什么特点 提示 在y轴的左边 函数值y随x的增大而减小 在y轴的右边 函数值y随x的增大而增大 曲 总结 1 二次函数y ax2的图象 二次函数y ax2的图象是一条曲线 这样的曲线通常叫做 它有 对称轴 抛物线与它的 的交点叫做抛物线的 抛物线 一条 对称轴 顶点 2 二次函数y ax2的图象与性质 向上 向下 0 0 0 0 增大 减小 减小 增大 0 0 0 0 打 或 1 二次函数的图象都是一条抛物线 都是中心对称图形 2 y ax2开口方向向上 顶点坐标是 0 0 3 函数的图象的对称轴过顶点 且对称轴为y轴 4 二次函数y x 1 x 1 1有最小值 最小值为0 5 若点 3 a 5 b 是二次函数y 6x2的图象上的两点 则a b 知识点1二次函数y ax2的图象 例1 在同一坐标系中 画出下列函数的图象 1 2 y 2x2 3 4 y 2x2 思路点拨 在数字0的两边各取一些左右对称的数字进行列表 然后根据列表描点连线 画出函数的图象 自主解答 列表 2 0 5 4 5 18 8 0 5 2 4 5 2 8 18 描点连线 总结提升 画函数y ax2的图象的三点注意1 列表时自变量应以0为中心 左右两边要对应取值 2 画图时图象应越过端点 表示为向下或向上无限延伸 3 图象在两个象限内画出的曲线是对称的 顶点处不能画成尖形 应该平滑 知识点2二次函数y ax2的性质 例2 已知是二次函数 且函数图象有最高点 1 求k的值 2 求顶点坐标和对称轴 思路点拨 1 根据二次函数的定义得出k2 k 4 2及k 2 0 再利用函数图象有最高点得出k 2 0 即可得出k的值 2 利用 1 中k的值得出二次函数关系式 利用二次函数y ax2 a 0 的顶点和对称轴的特点即可得出答案 自主解答 1 因为是二次函数 所以k2 k 4 2且k 2 0 即k2 k 6 0 且k 2 0 所以 k 3 k 2 0 且k 2 所以k 3或k 2 因为函数图象有最高点 所以k 2 0 当k 3时 k 2 1 0 符合要求 当k 2时 k 2 4 0 不符合要求 舍去 故k的值为 3 2 因为k 3 所以二次函数关系式为y x2 所以顶点坐标为 0 0 对称轴是y轴 总结提升 二次函数y ax2 a 0 中a的两点作用1 二次函数y ax2的开口方向由a决定 当a 0时 开口方向向上 当a 0时 开口方向向下 2 二次函数y ax2的开口大小由 a 决定 a 越大 二次函数y ax2的开口越小 a 越小 二次函数y ax2的开口越大 a 的值相等 二次函数y ax2的开口大小相同 题组一 二次函数y ax2的图象1 2013 丽水中考 若二次函数y ax2的图象经过点p 2 4 则该图象必经过点 a 2 4 b 2 4 c 4 2 d 4 2 解析 选a 将p 2 4 代入y ax2 得4 4a 得a 1 即y x2 将四个选项逐一代入y x2 可得只有点 2 4 符合 2 函数y ax2与y ax b a 0 b 0 在同一坐标系中的大致图象是 解析 选c 因为y ax2与y ax b a 0 b 0 所以二次函数y ax2开口向上 一次函数y ax b经过一 二 三象限 变式备选 给出下列命题 命题1 点 1 1 是双曲线与抛物线y x2的一个交点 命题2 点 1 2 是双曲线与抛物线y 2x2的一个交点 命题3 点 1 3 是双曲线与抛物线y 3x2的一个交点 请你观察上面的命题 猜想出命题n n是正整数 解析 从已知得出点的横坐标都是1 纵坐标与反比例函数的k相同 与二次函数的a相同 得出点 1 n 是双曲线与抛物线y nx2的一个交点 答案 点 1 n 是双曲线与抛物线y nx2的一个交点 3 在同一坐标系中 抛物线的共同特点是 a 关于y轴对称 开口向上b 关于y轴对称 y随x的增大而增大c 关于y轴对称 y随x的增大而减小d 关于y轴对称 顶点是原点 解析 选d 因为抛物线都符合抛物线的最简形式y ax2 其对称轴是y轴 顶点是原点 4 在函数 y x2 y x 1的图象中 关于原点中心对称的图形为 填入序号 解析 y x2的图象是抛物线 是轴对称图形 不是中心对称图形 故错误 的图象是一条过原点的直线 是关于原点对称的中心对称图形 故正确 的图象是双曲线 是关于原点中心对称的图形 故正确 y x 1的图象是一条不过原点的直线 不是关于原点对称的中心对称图形 故错误 答案 5 如图 o的半径为2 c1是函数的图象 c2是函数的图象 则阴影部分的面积是 解析 由图形观察可知 把x轴上方的阴影部分对称到下方就得到一个半圆 则阴影部分的面积答案 2 6 在坐标系中 画出函数的图象 解析 列表 描点连线 如图所示 题组二 二次函数y ax2的性质1 2012 龙岩中考 下列函数中 当x 0时 函数值y随x的增大而增大的有 y x y 2x 1 y 3x2 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 选b y x是正比例函数 k 1 0 y随x的增大而增大 符合题意 y 2x 1是一次函数 k 2 0 y随x的增大而减小 不符合题意 是反比例函数 k 1 0 当x 0时 函数值y随x的增大而增大 符合题意 y 3x2是二次函数 a 3 0 开口向上 对称轴为x 0 故当x 0时 图象在对称轴左侧 y随x的增大而减小 不符合题意 2 已知二次函数y ax2的图象开口向上 则直线y ax 1经过的象限是 a 第一 二 三象限b 第二 三 四象限c 第一 二 四象限d 第一 三 四象限 解析 选d 因为二次函数开口向上 所以a 0 所以直线经过第一 三 四象限 3 函数y 7x2的图象在对称轴右边的部分 y随x的增大而 解析 因为a 7 0 所以函数y 7x2的图象在对称轴右边的部分 y随x的增大而减小 答案 减小 4 写出一个开口向下的二次函数的关系式 解析 二次函数的图象开口向下 则二次项系数为负 即a 0 所以答案不唯一 如满足条件的二次函数的关系式为y x2 答案 y x2 答案不唯一 5 二次函数y 3m 6 x2的图象在三 四象限 求m的取值范围 并说明当x取何值时 y随x的增大而增大 解析 因为二次函数y 3m 6 x2的图象在三 四象限 所