安徽合肥第一中学高二数学上学期开学考试

安徽省合肥市第一中学2019-2020学年高二数学上学期开学考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题，再通过诱导公式计算。【详解】，故选D【点睛】本题考查三角函数的诱导公式，属于基础题。2.函数定义域为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据对数真数必须大于零和分式分母不等于零可构造不等式组，解不等式组求得结果.【详解】由题意得：，解得：且函数的定义域为：本题正确选项：【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，关键是明确对数型复合函数和分式的基本要求，属于基础题.3.设函数，则（）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】【分析】根据自变量的范围分别代入对应的解析式中，求得对应的函数值，加和得到结果.【详解】 又 本题正确选项：【点睛】本题考查分段函数函数值的求解问题，关键是准确判断自变量所处的范围，从而代入对应的解析式中，属于基础题.4.己知，则为（）A. B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】分子分母同时除以，可构造出关于的式子，代入求得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查正余弦的齐次式的求解，关键是能够利用同角三角函数的商数关系构造出关于的式子，属于基础题.5.若，则有（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别将与作比较，从而得到结果.【详解】 本题正确选项：【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数单调性比较大小的问题，常用方法是采用临界值的方式，通过与临界值的大小关系得到所求的大小关系.6.已知函数和的图像如图所示，若关于的方程和的实数根的个数分别为和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求得和的实数根的个数，相加后得出正确选项.【详解】根据函数的图像，由，得或.当时，由的图像可知有三个解，即有三个根.当时，由的图像可知有三个解，即有三个根.故有个根，即.由，结合图像可知，有三个零点.当时，由图像知此时有个零点；当时，由图知此时有个零点；当时，由的图像知此时有个零点.故有个根.故，所以本题选A.【点睛】本小题主要考查函数的图像与性质，考查函数零点的个数判断，属于中档题.对于复合函数零点问题，首先根据函数值，确定好对应内部函数的函数值，再根据内部函数的函数值，确定出相应自变量的值.在转化过程中，要注意看准对应的函数图像.7.己知函数（，）的图象（部分）如图所示，则的解析式是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据图象可知，利用正弦型函数可求得；根据最大值和最小值可确定，利用及可求得，从而得到函数解析式.【详解】由图象可知，的最小正周期：又 又，且 ，即， 本题正确选项：【点睛】本题考查根据图象求解三角函数解析式的问题，关键是能够明确由最大值和最小值确定；由周期确定；通常通过最值点来进行求解，属于常考题型.8.如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，则的最大值是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以为原点可建立坐标系，设，；根据可求得，从而得到，利用三角函数值域求解方法可求得结果.【详解】以为轴，以为原点，建立坐标系，如下图所示：设，则， ，解得： ，即最大值为本题正确选项：【点睛】本题考查利用圆的参数方程求解最值的问题，关键是能够建立坐标系，利用圆的参数方程将问题转化为三角函数最值的求解问题.9.在中，所对的边长分别是，若，则的形状为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】试题分析：由sinCsin(BA)sin2A再注意到：，所以有，故知ABC是等腰三角形或直角三角形，故选D.考点：三角恒等变形公式.10.已知向量，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是A. 关于直线对称B. 关于点对称C. 周期为D. 在上是增函数【答案】D【解析】当时,f(x)不关于直线对称；当时, ,f(x)关于点对称；f(x)得周期，当时, ,f(x)在在上是增函数。本题选择D选项.11.已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得 ，则 的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设正项等比数列an的公比为q，且q0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+ ，化简得，q2q2=0，解得q=2或q=1（舍去），因为aman=16a12，所（a1qm1）（a1qn1）=16a12，则qm+n2=16，解得m+n=6，=（m+n）（）=（17+）（17+2 ）=，当且仅当=，解得：m=，n= ，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为故答案选：B点睛：本题考查等比数列的通项公式，利用“1”的代换和基本不等式求最值问题，考查化简及计算能力，注意等号的成立的条件，易错点是，m,n必须取整数值，应在m=的附近取整数值，还要保证最后的结果是最小值.12.定义在上的奇函数和定义在上的偶函数分别满足，若存在实数，使得成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：当时，01，是奇函数，值域为-1,1，要使存在实数，使得成立,则-1=1，解得或，故选B.考点: 函数的奇偶性；指数函数的图像性质；对数函数的图像性质、幂函数图像与性质；数形结合思想二、填空题13.设的内角，所对的边分别为，.若，则角_【答案】【解析】【分析】将已知等式化简为，利用余弦定理可求得，从而得到结果.【详解】由得： 本题正确结果：【点睛】本题考查余弦定理解三角形的问题，属于基础题.14.设是等差数列的前项和，若，则_【答案】2【解析】【分析】根据等差数列可知，代入可求得结果.【详解】由等差数列性质可知：本题正确结果：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.15.已知的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则面积的最大值为_【答案】【解析】由，利用正弦定理可得：，即，即，（当且仅当时，取等号），面积为，则面积的最大值为，故答案为.16.已知函数，则 _；【答案】【解析】分析：由题意可得，利用倒序相加法，从而即可得到答案.详解：，设 则 +得，.故答案为：2018.点睛：本题考查数列与函数的应用，考查推理能力以及运算求解能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市1565岁的人群抽样，回答问题统计结果如图表所示组别分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的概率第1组15,25)50.5第2组25,35)0.9第3组35,45)27第4组45,55)0.36第5组55,65)3（1）分别求出的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人?（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率【答案】（1）；（2）人，人，1人；（3）【解析】【分析】（1）由统计表可求得第组的人数，再由频率分布直方图可得到第组人数点总体人数的频率（等于对应矩形方块的高度矩形方块的宽度），从而就可得到总体的人数n；进而就可求得其余各组的人数，再由统计表就可计算出a,b,x,y的值；（2）分层抽样方法就是各层按照相同的比例抽样：其抽取的比例为：结合（）结果就可得到各组所抽取的人数；（）将从（）中抽取的6人按组别用不同的字母表示,然后用树形图方式列举出从中抽取2人的所有可能情况,数出全部情况总数,最后从中数出第2组至少有1人的情况的种数,从而就可求得所求的概率.【详解】（1）第1组人数， 所以，第2组人数，所以，第3组人数，所以，第4组人数，所以，第5组人数，所以. （2）第2,3,4组回答正确的人的比为，所以第2,3,4组每组应各依次抽取人，人，1人. （3）记抽取的6人中，第2组的记为，第3组的记为，第4组的记为， 则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，他们是：，. 其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：，.故所求概率为. 考点：1. 频率分布表和频率分布直方图;2.抽样方法;3.古典概率.18.正项等差数列中，已知，且，构成等比数列的前三项.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)，.(2).【解析】【分析】（1）由题意结合数列的性质可得数列的公差，则，结合的通项公式可得.（2）结合(1)中取得结果错位相减可得数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，则由已知得：，即，又，解得或（舍去），所以，又，所以，所以.（2）因为，两式相减得 ，则.【点睛】一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解19.某地区2008年至2016年粮食产量的部分数据如下表：（1）求该地区2008年至2016年的粮食年产量与年份之间的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2008年至2016年该地区粮食产量的变化情况，并预测该地区 2018年的粮食产量.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】（1）；（2）测该地区2018 量为299. 2万吨.【解析】试题分析：（1）计算和，利用的计算公式即可得解；（2）由的意义得该地区粮食产量逐年增加，平均每两年增加6. 5 万吨，将代入中的线性回归方程得预测值.试题解析：（1）由所给数据可以看出，粮食年产量与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程，为此对数据预处理如下： 对预处理后的数据，容易算得，.由上述计算结果，知所求线性回归方程为，即.（2）由（1)知，故2008年至2016年该地区粮食产量逐年增加，平均每两年增加6. 5 万吨.将代入（1）中的线性回归方程，得，故预测该地区2018 量为299. 2万吨.点睛：求解回归方程问题的三个易误点： 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过点，可能所有的样本数据点都不在直线上利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)20.已知等比数列an满足an+1+an=92n-1,nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列an的前n项和为Sn,若不等式Snkan-2对一切nN*恒成立,求实数k的取值范围.【答案】（1）an=32n-1,nN*；（2）.【解析】【详解】(1)设等比数列an的公比为q,因为an+1+an=92n-1,nN*,所以a2+a1=9,a3+a2=18,所以q=2,又2a1+a1=9,所以a1=3.所以an=32n-1,nN*.(2)Sn=3(2n-1),所以3(2n-1)k32n-1-2,所以k2-.令f(n)=2-,f(n)随n的增大而增大,所以f(n)min=f(1)=2-=.所以k,所以实数k的取值范围为.21.已知向量a(cosxsinx，sinx)，b(cosxsinx,2cosx)设函数f(x)ab(xR)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式可得： ，利用最小正周期公式可得函数的最小正周期为 ；(2)化简三角函数的解析式，结合函数的定义域可得函数的取值范围是 .试题解析：(1)因为f(x)sin2xcos2x2sinxcosxcos2xsin2x2sin.由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin1，所以2k (kZ)，即 (kZ)又，kZ，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图象过点，得f0，即2sin2sin，即.故f(x)2sin，由0x，有x，所以sin1，得12sinx2.故函数f(x)在上的取值范围为1，2