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第10章电路含有耦合电感的电路 1第10章含有耦合电感的电路?重点1.互感和互感电压2.有互感电路的计算3.空心变压器和理想变压器2变压器3变压器4有载调压变压器5小变压器6调压器镇流器牵引电磁铁电流互感器7 一、自感和自感电动势Li?10.1自感和自感电压自感磁通链线圈中由电流i产生的磁通在自身线圈产生的磁通链。 ?i+u+e dieLdt?由楞次定律，有自感电动势其中称为自感系数，由线圈的几何性质决定。 810.2互感1.互感耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。 线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通(magic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈2，这部分磁通称为互感磁通。 两线圈间有磁的耦合。 +u11+u21i1?11?21N1N29定义?磁链(magic linkage)，?=N?当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，?与i成正比,当只有一个线圈时。 为自感系数，单位亨称H)(111111L i L?互感磁通链2111中的一部分或全部交链线圈N N22时产生的磁通链。 互感磁通链1222中的一部分或全部交链线圈N N11时产生的磁通链。 自感磁通链11线圈N N11中由电流i1产生的磁通11在自身线圈产生的磁通链。 2122212111?互感的“反相耦合”作用用磁耦合两个通电线圈之间通过磁场的相互影响的耦合。 i1+u1-+11?22?12?21?2i2u2L1L1N2N10当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和2121112111i M i L?1212221222i M i L?。 为互感系数，单位亨、称H)(2112M M注注（ （1）M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，满足M12=M21。 （ （2）L总为正值，M值有正有负.i1+u1-+11?22?12?21?2i2u2L1L同向耦合反向耦合11?22?12?21?2i2u2L1L+-u1i12121112111i M i L?1212221222i M i L?112.耦合系数(coupling coefficient)用耦合系数k表示两个线圈磁耦合的紧密程度。 121def?L LMk当当k=1称全耦合:漏磁F s1=F s2=0即即F11=F21，F22=F121)(2211211222112121221?i Li LMi MiL LML LMk一般有耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关12互感现象利用变压器信号、功率传递避免干扰克服合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。 1314当当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。 dddd111111tiLtu?当当i 1、u 11、u21方向与?符合右手螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律tiMtudd dd12121?自感电压互感电压3.耦合电感上的电压、电流关系+u11+u21i1?11?21N1N215tiLtiM u u utiMtiL uuudd dd dd dd2212221221112111?2121112111i M i L?1212221222i M iL?当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压i1+u1-+11?22?12?21?2i2u2L1L同向耦合反向耦合11?22?12?21?2i2u2L1L+-u1i116两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正，否则取负。 表明互感电压的正、负 （11）与电流的参考方向有关。 （22）与线圈的相对位置和绕向有关。 注注在正弦交流电路中，其相量形式的方程为22122111j jj j?I LI MUI M I LU?*+_+_*+_+_1?U1?U2?U2?U2?I1?I2?I1?IM j?M j?1L j?2L j?1L j?2L j?174.互感线圈的同名端对自感电压，当当u,i取关联参考方向，u、i与与?符合右螺旋定则，其表达式为dddd dd111111111tiLtNtu?上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可不用考虑线圈绕向。 i1u11对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。 这在电路分析中显得很不方便。 为解决这个问题引入同名端的概念。 18tiM utiM udd dd1313112121?当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。 *?同名端i1i2i3注意线圈的同名端必须两两确定。 +u11+u21?11?0N1N2+u31N3?s19确定同名端的方法 (1)当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时时，两个电流产生的磁场相互增强。 ?i1122*112233*?例例 (2)当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。 20同名端当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入，其所产生的磁场互加强时，则这两个对应端子称为同名端。 同名端表明了线圈的相互绕法关系c d+u21i1?21c i1d?21u21+dd1212tiM uu?dd1212tiM uu?*同名端i2i2*+_+_1u2u2i1iM1L j?2L j?*+_+_1u2u2i1iM1L j?2L j?*a bc i1d?21u21+a b a ba ba bc dc d21同名端的实验测定i1122*R SV+电压表正偏。 0,022?dtdiM udtdi如图电路，当闭合开关S时，i增加，当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。 当断开S时，如何判定？?22由同名端及u、i参考方向确定互感线圈的特性方程有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。 tiM udd121?tiM udd121?i1*u21+M i1*u21+M23tiMtiL udddd2111?tiLtiM udddd2212?i1*L1L2+_u1+_u2i2M tiMtiL udddd2111?tiLtiM udddd2212?i1*L1L2+_u1+_u2i2M例例写出图示电路电压、电流关系式式24tiMtiL udddd2111?tiMtiL udddd2111?tiLtiM udddd2212?i1*L1L2+_u1+_u2i2M i1*L1L2+_u1+_u2i2M tiLtiM udddd2212?25例例i1*L1L2+_u2M R1R2+_u21010i1/A t/s)()(H,1,H2,H5,102211t ut uM L L R和求已知?ts t Vs tVtiM tu2021101010dd)(12解解?ts tV ts tVttiL i R tu20211501001050100dd)(111?ts t tst ti202110xx1012610.2含有耦合电感电路的计算1.耦合电感的串联 （11）顺接串联tiL RitiM L Li R Ri RtiMtiLtiMtiLi Rudd dd)2()(dddddddd21212211?M L L L R R R22121?i R Lu+iM*u2+R1R2L1L2u1+u+去耦等效电路27 （22）反接串联M L L L R R R22121?tiL RitiM L Li R Ri RtiMtiLtiMtiLi Rudddd)2()(dddddddd21212211?)(2121L L M?互感不大于两个自感的算术平均值。 0221?M L L LiM*u2+R1R2L1L2u1+u+iR Lu+28顺接一次，反接一次，就可以测出互感4反顺L LM?全耦合时21LL M?221212121)(22L LLLLL M LLL?当当L1=L2时时,M=L4M顺接0反接L=互感的测量方法29在正弦激励下*1?U+R1R2j?L1+j?L22?Uj?M?U?I?)(j)(2121I M LLI R R U+30*1?U+R1R2j?L1+j?L22?Uj?M?U?I?I?1I R?1j I L?j I M?2I R?2j I L?j I M1?U2?U?U?I?1I R?1j I L?j I M?2I R?2j I L?j I M1?U2?U?U相量图(a)顺接(b)反接2111)(I M j I L j R U?231I I I?313111I M j I)M L(j R?】【132I I I?线圈1线圈23222I M j I)M L(j R?】【2221)(I L j R I M j U?231I I I?323111I M j I)M L(j R?】【132I I I?线圈1线圈22111)(I M j I L j R U?3222I M j I)M L(j R?】【2221I)L j R(I M j U?33（ （1）同侧并联tiMtiL udddd211?tiM LLM LLudd2)(21221?i=i1+i2解得u,i的关系2.耦合电感的并联*Mi2i1L1L2u i+tiMtiL udddd122?34如全耦合L1L2=M2当当L1?L2，L eq=0(物理意义不明确)L1=L2=L，L eq=L(相当于导线加粗，电感不变)等效电感02)(21221?M LLM LLL eqLeq u i+去耦等效电路35（ （2）异侧并联*Mi2i1L1L2u i+tiMtiL udddd211?i=i1+i2tiMtiL udddd122?tiM LLM LLudd2)(21221?解得u,i的关系等效电感02)(21221?M LLM LLL eq363.耦合电感的T T型等效 （11）同名端为共端的T T型去耦等效*j?L1?I1?I2?I123j?L2j?M21113j j?I MI LU12223j j?I M I LU?21?I I I?j)(j11I MI M L?j)(j22I MI M L?j?(L1-M)?I1?I2?I123j?M j?(L2-M)37 （22）异名端为共端的T T型去耦等效*j?L1?I1?I2?I123j?L2j?M j?(L1M)?I1?I2?I123j?M j?(L2M)21113j j?I MI LU?12223j j?I MI LU?21?I I I?j)(j11I MI M L?j)(j22I MI M L?38*Mi2i1L1L2u i+*Mi2i1L1L2u+u+j?(L1M)?I1?I2?Ij?M j?(L2M)j?(L1M)1?I2?Ij?M j?(L2M)39三.计算举例1.已知如图，求入端阻抗Z=?方法一外加电压求电流*?L1L2M R C*?jM jL1jL2+U?U I M j IL j?211?R1I?2I?01221?I)Cj R(L jI M j?)Cj R(L jI M jI?1212?)Cj R(L jI)M j(IL j U?121211?)Cj R(L j)M j(L jIUZ?12211?解相量图模型及回路电流如图（b）所示，有（b）（a）Cj?1?Cj R)M L(j/(M j)M L(j Z?121?40解法二去耦等效?L1-M L2-M M RC解相量图模型及去耦等效电路如图(a)、（b）所示，有有（a）?jMRj（L1-M）j（L2-M）Cj?1?（b）相量图模型去耦等效电路Z414.受控源等效电路2111?I Mj IL j U?1222?I Mj IL j U?*Mi2i1L1L2u+u+j?L11?I2?Ij?L2+2?I Mj?1?I Mj?+2?U+1?U42例例abL求等效电感M=3H6H2H0.5H4H a b M=4H6H2H3H5H ab M=1H9H2H0.5H7H ab-3H L ab=5H4H3H2H1H ab3H Lab=6H解解435.有互感电路的计算 (1)在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍应用前面介绍的相量分析方法。 (2)注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。 (3)一般采用支路法和回路法计算。 列写下图电路的回路电流方程。 例例1Mu S+CL1L2R1R2*+ki1i144M+_+_1SU?2SU?L1L2L3R1R2R31I?2I?3I?aI?bI?回路电流法1333311)()(S baU IL j R IL j R L j R?bI Mj?2333322)()(S abU IL jR IL jR L jR?aI Mj?注意:互感线圈的互感电压的的表示式及正负号。 含互感的电路，直接用节点法列写方程不方便。 -+-+-+-不考虑互感考虑互感例45SU I I Mj IL j IL jR?)()(3231111?213Mu S+CL1L2R1R2*+i113132222)()(I kI I Mj IL jIL jR?0)()()1(23132211321?I I MjII M jIL jIL j ICj L j L j?解解ki146例10-5。 计算开路电压OCU?4已知:,6,6,5,102121V UR RM LLS?求其戴维南等效电路。 +_ocU?Z iI R IMjU U UOC?221?Aj R L j RUIS?8.39384.08.3962.1506101206211?839384056.)j(?V.?0383938408394268?+1U?+2U?I?47求内阻Z i方法 （1）外加电压法解外加电压和回路电流如图所示。 有0)(2121?b b aI MjI R IL jR R?0222U IMjIR I)L jR(a ab?2.6808.85.73,5.730000jIUZjUI Iib0561012?baI)j(I)j(?010656U I)j(I)j(ba?,6,6,5,102121V URRM LLS?5730.jUI b?0I?+_0U?aI?bI?48方法 （2）去耦等效解去耦等效电路如图(b)所示，有MjR)M L(jR)MjR)(M L(jR)M L(j Zi?2112112(a)(b)52352565.j jjj?)j()j()j)(j(j565656565?268088573.j49例22求图示电路的开路电压。 1I?)2(313111M LL jRUIS?M12+_+_SU?ocU?*?M23M31L1L2L3R1)2()(313113123123131311231120M LL jRU M M M L jIL jIMjIMjIMj USc?解1150作出去耦等效电路，(一对一对消):M12*?M23M13L1L2L3*?M23M13L1M12L2M12L3+M12L1M12+M23M13L2M12M23+M13L3+M12M23M13解22L1M12+M23L2M12M23L3+M12M23?M1351M12*?M23M13L1L2L3L1M12+M23M13L2M12M23+M13L3+M12M23M13L1ML2ML3M若若M12M23M13M，则52L1M12+M23M13L2M12M23+M13L3+M12M23M13R1+_SU?ocU?1I?)2(313111MLL jRUIS?)2()(3131131231230MLLjRU MMML jUSc?53例33要使i=0，问电源的角频率为多少？Z RCL1L2Miu S+R+SU?I?Z*R+SU?I?Z解CM?1?当MC1?0?I?1Lj?2Lj?Mj?C j?1)(1MLj?)(2MLj?Mj?C j?15410.3空心变压器*j?L11?I2?Ij?L2j?M+S?UR1R2Z=R+jX变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。 当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。 1.空心变压器电路原边回路副边回路552.分析方法 （11）方程法分析*j?L11?I2?Ij?L2j?M+S?UR1R2Z=R+jX S2111j-)j(?U IMILR?0)j(j2221?I ZLR IM令令Z11=R1+j?L1，Z22=(R2+R)+j(?L2+X)Z12=Z21=-j?M回路方程S2111j-?U IMI Z?0j2221?I Z IM?S?U I ZI Z2121110222121?I ZI Z56222211222211211222112112221222221122221122211222112222211211221210M Z ZU MjM Z ZU MjZ Z Z ZUZIZZIZMZUM ZZU ZZZZZU ZZZZ ZZZUIs sss sss?-222211221)()(MLjRR LjRULjR RILsL?222L211s2M)LjRR)(LjR(U MjI?0222121212111IZI ZU IZI Zs?Mj ZZ?211257)(22211S1ZMZUI?222111Sin)(ZMZIUZ?1?I+S?UZ11222)(ZM原边等效电路 （22）等效电路法分析22211221222)(ZMZUZMIZMI?S j j?*j?L11?I2?Ij?L2j?M+S?UR1R2Z=R+jX inZ引入阻抗由前面分析知582?I+oc?UZ22112)(ZM副边等效电路*j?L11?I2?Ij?L2j?M+S?UR1R2Z=R+jX OCU?+_1IMjUoc?11111LjRUZUIs s?1122211222)()(LjRMZZMZ Z eq?同理，从副边向原边看，有引入阻抗59l llX RX RXMX RR MX RMZMZj j j)(22222222222222222222222222222?Z l=R l+j Xl2222222222X RRMR l?2222222222XRXMXl?11in2,0ZZI?即副边开路当?1?I+S?UZ11222)(ZM副边对原边的引入阻抗。 引入电阻。 恒为正,表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的。 引入电抗。 负号反映了引入电抗与付边电抗的性质相反。 原边等效电路l eqZZZMZ Z?1122211)(?60引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。 从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。 从能量角度来说:电源发出有功功率P=I12(R1+R l)I12R1消耗在原边；I12R l消耗在副边，由互感传输。 2221j?IZIM?证明明22222222212)()(I XRIM?2222221222222222P IR IXRRM?)(?61111IMjZU MU?Soc j112)(ZM原边反映到副边的引入阻抗。 利用戴维宁定理可以求得空心变压器副边的等效电路。 副边开路时，原边电流在副边产生的互感电压。 2?I+oc?UZ22112)(ZM副边等效电路 （33）去耦等效法分析对含互感的电路进行去耦等效，变为无互感的电路，再进行分析。 62已知U S=20V,原边引入阻抗Z l=10j10?.求求:Z X并求负载获得的有功功率.101010j42222jZ ZMZXl?8.9j2.010200)1010(41010104?jjjjZX此时负载获得的功率W101010202?l RRP P）（引W104,*2S11?RUP Z Zl实际是最佳匹配解*j10?2?Ij10?j2+S?U10?Z X+S?U10+j10?Z l=10j10?例例1解解63L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20?,R2=0.08?,R L=42?,?314rad/s,V0115o?sU?.,:21II?求应用原边等效电路.jj41130xx11?LR Z.j851808422222jLRR ZL?8188422124346212411461462222.-jZXZMl).(.o?1?I+S?UZ11222)(ZM?例例2*j?L11?I2?Ij?L2j?M+S?UR1R2R L解解164A)9.64(111.08.1884224.1130xx15o11S1?j jZZUIl?应用副边等效电路VjjL jRUM jIMj USOC?085.144.1130xx15146111?85.18906.1130213164.1130xx6)(2112jj ZM?AjjZI MjI?1351.01.2411.461.252.1685.1808.429.64111.01462212?解解22?I+oc?UZ22112)(ZMAj jUIOC?0353.008.42085.1485.1808.425.182?65例例3全耦合互感电路如图，求电路初级端ab间的等效阻抗。 *L1a M+S?Ub L2解解1111jLZ?222jLZ?22222)(LMjZMZ l?)1()1(21212122111k LjL LMLjLMj LjZZZlab?解解2画出去耦等效电路L1ML2M+SU?M ab)1()1()()/()(212121222122121k LLLMLLM LLLM LMM LM LMMLLab?66例例4L1=L2=0.1mH,M=0.02mH,R1=10?,C1=C2=0.01?F,问R2=？能吸收最大功率,求最大功率。 V010o?sU?解解1?10)1j(11111CL RZ?222222)1j(RCL RZ?2222400)(RZMZ l?1066rad/s,*j?L1j?L2j?M+S?UR1C2R2C1?10021LL?1001121C C?20M?应用原边等效电路+S?U10?2400R当当21140010RZ Zl?R2=40?时吸收最大功率W P5.2)104(102max?67解解2应用副边等效电路4010400)(112?ZMZ l?+oc?UR240)(112?ZM?V jjZUMj USOCxx10xx?当当?402RZl时吸收最大功率W P5.2)404(202max?例例5图示互感电路已处于稳态，t=0时开关打开，求求t0+时开路电压u2(t)。 *0.2H0.4H M=0.1H+10?40V u2+10?5?10?68解解*0.2H0.4H M=0.1H+10?40V u2+10?5?10?副边开路，对原边回路无影响，开路电压u2(t)中只有互感电压。 先应用三要素法求电流i(t).i Ai i1211510/1040)0()0(?10?0?ts01.0202.0?t0)(?iA ee iiit itt100)()0()()(?V eedtddtdiM tut t100100210)(1.0)(?69解解例例6*u S(t)Z100?C L1L2M tt uCMLS?cos2100)(,xx202?，已知问问Z为何值时其上获得最大功率，求出最大功率。 （11）判定互感线圈的同名端。 j?L1R+SU?I?M ZL*j?L21/j?C70 （22）作去耦等效电路j100?j20?j20?100?j(?L1-20)?00100?j100?100?j(?L1-20)?00100?j?L1R+SU?I?M ZL*j?L21/j?C71VjjjU jUSoc045250100100100100100100100?5050100100jjZeq/获得最大功率时，当L*LZ jZ Zeq?5050WRUPeqOC25504)250(422max?ocU?eqZ7210.4理想变压器121LL Mk?1.理想变压器的三个理想化条件理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。 （22）全耦合 （11）无损耗线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。 （33）参数无限大n LLMLL?2121,2,1N N,但以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。 73?i1122N1N2?2211212.理想变压器的主要性能（ （1）变压关系1?kdtdNdtdu?111?dtdNdtdu?222?nNNuu?2121*n:1+_u1+_u2*n:1+_u1+_u2理想变压器模型若若nNNuu?212174 （22）变流关系i1*L1L2+_u1+_u2i2M dtdiMdtdiLu2111?)() (1)(210111t iLMduLt it?考虑到理想化条件121LL Mk?n LLL?21211N N,0n LLLM1121?) (1)(21t inti?若若i 1、i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有) (1)(21t inti?n:1理想变压器模型75 （33）变阻抗关系Z nIUnI nU nIU22222211)(/1?*1?I2?I+2?U+1?Un:1Z1?I+1?U n2Z理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。 注注76（b）理想变压器的特性方程为代数关系，因此它是无记忆的多端元件。 21nu u?211ini?*+n:1u1i1i2+u20)(111112211?ni uniu iuiu p（a a）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。 （ （4）功率性质表明77例例1已知电源内阻R S=1k?，负载电阻R L=10?。 为使R L上获得最大功率，求理想变压器的变比n。 n2R L+uSR S当当n2RL=R S时匹配，即10n2=1000?n2=100，n=10.*n:1RL+uSR S应用变阻抗性质78例例21?I2?I*+2?U+1?U1:1050?+V010o?1?.2?U求方法1列方程10121U U?2110II?o110101?U I?05022?U I?解得V033.33o2?U79方法2阻抗变换V01001010oS1oc?U U U?0,012?II?1?I2150)101(2?+1?U+V010o?1?V0310212/11010oo1?U?V033.33101o112?U UnU?方法3戴维南等效1?I2?I*+oc?U+1?U1:10+V010o?1?:ocU?求80求求R eqR eq=102?1=100?戴维南等效电路+2?U+V0100o?100?50?V033.3350501000100oo2?U?R eq*1:101?81例例4已知图示电路的等效阻抗Z ab=0.25?，求理想变压器的变比n。 解解102?n+1?U1.5?23?U?I+U?应用阻抗变换外加电源得10)3(221n U I U?)105.1()3(22n U I U?21U n U?130102?nI nU?130105.125.02?nnIUZ ab?n=0.5or n=0.25Z ab*n:11.5?10?+32U?2U?82例例5求电阻R吸收的功率解解应用回路法211UnU?21InI?11?U UIS?2322UII?解得SU II?322n nn n UIS23)121(3?2RI P?1?I2?I*+2?U+1?U1:10+SU?1?1?1?R=1?n nn UIS123212?/)/(?32III?1I?2I?3I?I?83例例62?I*+?U+n1:1R1n2:1R2?I4?I2?U+4?U3?U1?U+R3ab求入端电阻R ab解解422131U nU nU UU?4423422224232121)()(II RRIInII IRIRn?442222214221IU nIU nIU nIU nIUR ab?423223222243213121)()(IIR n RRnIIR n RRn?2412nInII?2142nnII?2213222121)(nnRRnRnRab?8410.5实际变压器的电路模型实际变压器是有损耗的，也不可能全耦合，k?1，且且L1，M，L2?。 除了用具有互感的电路来分析计算以外，还常用含有理想变压器的电路模型来表示。 1.理想变压器(全耦合，无损，?=?线性变压器)21UnU?211InI?21nu u?211ini?i1*+_u1+_u2i2n:1理想变压器模型85nNNuu?2121若同名端在异侧理想变压器模型*n:1+_u1+_u2注意nNNuu?2121*n:1+_u1+_u2862.全耦合变压器(k=1，无损，?，线性)由于全耦合，所以仍满足2121NNnUU?*j?L11?I2?Ij?L2j?M+2?U+1?U21111j1InULI?全耦合变压器的等值电路图*j?L11?I2?I+2?U+1?Un:1理想变