人教B版必修一 2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象（选学） 课件（32张）.ppt

2 1 4函数的奇偶性2 1 5用计算机作函数的图象 选学 一 二 三 一 奇偶函数的定义 问题思考 提示 y 的定义域为 x x 0 经过对一系列互为相反数的x值代入函数式可得 若x的取值互为相反数 则其函数值相等 即对x x x 0 总有f x f x 成立 我们把这类函数称为偶函数 2 你还能得出函数f x x5在x r时仍有上述 1 问中的规律吗 提示 f x x5满足的规律是对x r 总有f x f x 成立 我们把这类函数称为奇函数 2 一个函数具有奇偶性 其定义域有什么特点 提示 一个函数若具有奇偶性 其定义域一定关于原点对称 这等价于定义中的 对d内的任意一个x 都有 x d 这一说法 一 二 三 3 填写下表 设函数y f x 的定义域为d 如果对d内的任意一个x 都有 x d 一 二 三 4 做一做 1 下列函数是偶函数的为 a y 2 x 1 x 1 2 b y x3 x2c y x3d y x2 x 1 0 0 1 答案 d 2 下列函数中 既是奇函数又是增函数的为 a y x 1b y x2c y d y x x 答案 d 一 二 三 二 奇 偶函数的图象特征 问题思考 1 如果f x 的图象关于原点对称 且函数在x 0处有定义 那么f 0 为何值 提示 f x 的图象关于原点对称 即f x 为奇函数 故满足f x f x 因为f x 在x 0处有定义 所以f 0 f 0 即f 0 0 2 若f x 为奇函数 且点 x f x 在其图象上 则哪一个点一定在其图象上 若f x 为偶函数呢 提示 若f x 为奇函数 则点 x f x 一定在其图象上 若f x 为偶函数 则点 x f x 一定在其图象上 一 二 三 3 填空 1 如果一个函数是奇函数 则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 反之 如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 则这个函数是奇函数 2 如果一个函数是偶函数 则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形 反之 如果一个函数的图象关于y轴对称 则这个函数是偶函数 名师点拨奇函数在其对称区间上的单调性相同 偶函数在其对称区间上的单调性相反 若奇函数f x 在区间 a b 0 a b 上有最大值m 最小值m 则f x 在区间 b a 上的最大值为 m 最小值为 m 偶函数f x 在区间 a b b a 0 a b 上有相同的最大 小 值 一 二 三 4 做一做 图中表示偶函数的图象的是 填序号 一 二 三 解析 中函数的定义域不关于原点对称 所以 表示的不是偶函数的图象 中的函数图象不关于y轴对称 所以 表示的不是偶函数的图象 中函数的定义域关于坐标原点对称 而图象又关于y轴对称 所以 表示的是偶函数的图象 中函数的定义域关于原点对称 且图象关于y轴对称 所以 表示的是偶函数的图象 故填 答案 一 二 三 三 选学 用计算机图形技术作函数图象的指令填空 1 给自变量x赋值 2 给出计算法则 求对应的y值 3 由x和对应的y值组成有序数对集合 4 建立平面直角坐标系 并根据有序数对 在平面直角坐标系中作出对应的点集 5 通过这些点集描出函数的图象 注意 只要函数的表达式已知 就能画出函数的图象 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号里打 错误的打 1 奇函数的图象一定过原点 2 偶函数的图象一定是轴对称图形 3 既是奇函数又是偶函数的函数只有f x 0 x r 答案 1 2 3 探究一 探究二 探究三 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性 思维辨析 分析 先求定义域 验证定义域是否关于原点对称 再看f x 与f x 的关系 进而做出判断 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟如何判断函数的奇偶性1 判断函数的奇偶性一般不用其定义 而是利用定义的等价形式 即考察f x 与f x 的关系 具体步骤如下 1 求f x 的定义域 2 若定义域不关于原点对称 则函数f x 不具有奇偶性 若定义域关于原点对称 可再利用定义验证f x 与f x 的关系 2 对于一些较复杂的函数 也可以用如下性质判断函数的奇偶性 1 偶函数的和 差 积 商 分母不为零 仍为偶函数 2 奇函数的和 差仍为奇函数 3 奇 偶 数个奇函数的积 商 分母不为零 为奇 偶 函数 4 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1下列函数是偶函数的为 a y 2 x 1 x 1 2 b y x3 x2c y x3d y x2 x 1 0 0 1 解析 选项a中 函数的定义域不关于原点对称 则函数不是偶函数 选项b中 f x f x 函数不是偶函数 选项c中 f x x3 f x 函数是奇函数 选项d中 f x x2 f x 且定义域也关于原点对称 所以函数是偶函数 答案 d 探究一 探究二 探究三 思维辨析 由函数的奇偶性求函数的解析式 例2 已知f x 是奇函数 且当x 0时 f x x x 2 求当x0 f x x x 2 x x 2 f x 为奇函数 f x f x f x x x 2 故当x 0时 f x 的表达式为f x x x 2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 函数具有奇偶性 若只给出了部分区间上的解析式 则可以利用函数的奇偶性求出对称区间上的解析式 其解题理论为函数奇偶性的定义 正用定义可以判断函数的奇偶性 逆用可以求出函数在对称区间上的解析式 2 结论 1 若f x 是奇函数 且已知x 0时的解析式 则x0时的解析式 则x 0时的解析式只需将原函数式y f x 中的x替换为 x y不变 即得x 0时的解析式 探究一 探究二 探究三 思维辨析 若本例题中题干不变 如何求当x 0时 f x 的表达式 解 只需将f 0 单独求出 因为f x 是奇函数 且在x 0处有定义 所以f 0 0 又因为f x x x 2 x 0 所以f x x x 2 x 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 奇 偶函数图象的应用 例3 若函数f x 是定义在r上的偶函数 且在 0 上是增函数 若f 2 0 则使f x 0的x的取值范围是 a 2 b 2 2 c 2 2 d 2 解析 由偶函数f x 在 0 上为增函数 且f 2 0 可知函数f x 在 0 上为减函数 且f 2 f 2 0 于是可得出如图的草图 由图可知使f x 0的x的取值范围是 2 2 故选c 答案 c 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 研究函数图象时 要注意对函数性质的研究 这样可避免作图的盲目性和复杂性 2 利用函数的奇偶性作图 其依据是奇函数图象关于原点对称 偶函数图象关于y轴对称 因此在研究这类函数的性质 或图象 时 可通过研究函数在y轴一侧的性质 或图象 便可推断出函数在整个定义域上的性质 或图象 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2奇函数f x 的定义域为 5 5 它在y轴右侧的图象如图所示 则f x 0的x的取值集合为 解析 奇函数f x 在 5 5 上的图象如图所示 由图象可知 x 2 5 时 f x 0 因为其图象关于原点对称 所以x 5 2 时 f x 0 x 2 0 时 f x 0 所以使f x 0的x的取值集合为 x 2 x 0 或2 x 5 答案 x 2 x 0 或2 x 5 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因忽视x的限制条件而致误 探究一 探究二 探究三 思维辨析 防范措施1 判断分段函数的奇偶性时必须判断每一段函数都具有f x f x 或f x f x 的特征 才能说明该函数的奇偶性 一般方法是先在一个区间上设自变量 再向对称区间转化 并且应该进行双向验证 若函数在x 0处有定义 还要对f 0 加以验证 2 对于此题 需对x 0 x 0的情况分别说明 不能简单地比较f x 与f x 1 2 3 4 5 6 1 下列函数是偶函数的为 a f x x2b f x xc f x d f x x x3答案 a 1 2 3 4 5 6 2 有下列说法 偶函数的图象一定与y轴相交 若y f x 是奇函数 则由f x f x 可知f 0 0 既是奇函数也是偶函数的函数一定是f x 0 x r 若一个图形关于y轴成轴对称 则该图形一定是偶函数的图象 其中不正确的是 a b c d 解析 中可举反例f x x2 2 x 2 2 中f x 在x 0处可能无定义 中也可以是f x 0 x a a为关于原点对称的数集 中该图形可能不是函数的图象 故 均错误 答案 d 1 2 3 4 5 6 3 若f x x5 5x3 bx 8 且f 2 10 则f 2 解析 f 2 2 5 5 2 3 b 2 8 10 25 5 23 2b 18 f 2 25 23 5 2b 8 18 8 26 答案 26 1 2 3 4 5 6 4 已知函数f x 是定义在r上的偶函数 当x 0 时 f x x x4 当x 0 时 f x 解析 方法一 由于是填空题 故可采用直接代换法 将x用 x代替 即答案为 x x4 方法二 设x 0 则 x 0 则f x x x 4 x x4 又y f x 是偶函数 f x f x f x 在区间 0 上的函数表达式为f x x x4 答案 x x4 1 2 3 4 5 6 5 函数f x x r 若对任意实数a b都有