人教B版选修11 第二章 2.3.2　抛物线的几何性质 课件（39张）.pptx

第1课时抛物线的几何性质 第二章2 3 2抛物线的几何性质 学习目标1 了解抛物线的范围 对称性 顶点 焦点 准线等几何性质 2 会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一抛物线的几何性质 思考1类比椭圆 双曲线的几何性质 你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质 答案范围 对称性 顶点 离心率 思考2类比椭圆 双曲线的几何性质 结合图象 你能说出抛物线y2 2px p 0 的范围 对称性 顶点坐标吗 答案范围x 0 关于x轴对称 顶点坐标 0 0 梳理抛物线的几何性质 0 0 1 x 0 y 0 知识点二焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为a x1 y1 b x2 y2 则 思考辨析判断正误 1 椭圆 双曲线和抛物线都是中心对称图形 2 抛物线和双曲线一样 开口大小都与离心率有关 3 抛物线只有一条对称轴和一个顶点 4 抛物线的开口大小与焦点到准线的距离有关 题型探究 类型一由抛物线的几何性质求标准方程 解答 例1已知抛物线的焦点f在x轴上 直线l过f且垂直于x轴 l与抛物线交于a b两点 o为坐标原点 若 oab的面积等于4 求此抛物线的标准方程 解由题意 设抛物线方程为y2 2mx m 0 所以 ab 2 m 因为 oab的面积为4 引申探究等腰直角三角形aob内接于抛物线y2 2px p 0 o为抛物线的顶点 oa ob 则 aob的面积是a 8p2b 4p2c 2p2d p2 解析 答案 解析因为抛物线的对称轴为x轴 内接 aob为等腰直角三角形 所以由抛物线的对称性知 直线ab与抛物线的对称轴垂直 从而直线oa与x轴的夹角为45 所以点a的坐标为 2p 2p 同理可得b 2p 2p 反思与感悟把握三个要点确定抛物线的几何性质 1 开口 由抛物线标准方程看图象开口 关键是看准二次项是x还是y 一次项的系数是正还是负 2 关系 顶点位于焦点与准线中间 准线垂直于对称轴 3 定值 焦点到准线的距离为p 过焦点垂直于对称轴的弦 又称为通径 长为2p 离心率恒等于1 跟踪训练1已知抛物线的顶点在坐标原点 对称轴重合于椭圆短轴所在的直线 抛物线的焦点到顶点的距离为5 求抛物线的方程 解答 抛物线的对称轴为x轴 设抛物线的方程为y2 ax a 0 抛物线的方程为y2 20 x或y2 20 x 类型二抛物线的焦点弦问题 例2已知直线l经过抛物线y2 6x的焦点f 且与抛物线相交于a b两点 1 若直线l的倾斜角为60 求 ab 的值 解答 解因为直线l的倾斜角为60 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 5 2 若 ab 9 求线段ab的中点m到准线的距离 解答 解设a x1 y1 b x2 y2 所以x1 x2 6 所以线段ab的中点m的横坐标是3 引申探究本例中 若a b在其准线上的射影分别为a1 b1 求 a1fb1 解答 解由抛物线定义 aa1 af 得 aa1f afa1 又aa1 x轴 ofa1 aa1f ofa1 afa1 同理得 ofb1 bfb1 a1fo b1fo 90 即 a1fb1 90 反思与感悟 1 抛物线的焦半径 2 过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2 2px p 0 的焦点的弦的端点为a x1 y1 b x2 y2 则 ab x1 x2 p 然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立 消元 由根与系数的关系求出x1 x2即可 跟踪训练2直线l过抛物线y2 4x的焦点 与抛物线交于a b两点 若 ab 8 则直线l的方程为 x y 1 0或x y 1 0 答案 解析 解析因为抛物线y2 4x的焦点坐标为 1 0 若l与x轴垂直 则 ab 4 不符合题意 所以可设所求直线l的方程为y k x 1 所以所求直线l的方程为x y 1 0或x y 1 0 类型三抛物线的实际应用 例3某河上有一座抛物线形的拱桥 当水面距拱顶5m时 水面宽8m 一木船宽4m 高2m 载货的木船露在水面上的部分高为m 货物的宽与木船相同 当水面上涨到与拱顶相距多少时 木船开始不能通航 解答 解以桥的拱顶为坐标原点 拱高所在的直线为y轴建立如图所示直角坐标系 设抛物线的方程是x2 2py p 0 由题意知a 4 5 在抛物线上 设水面上涨 木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于b b 时 木船开始不能通航 设b 2 y 故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2m时 木船开始不能通航 反思与感悟在建立抛物线的标准方程时 常以抛物线的顶点为坐标原点 对称轴为一条坐标轴建立坐标系 这样可使得标准方程不仅具有对称性 而且曲线过原点 方程不含常数项 形式更为简单 便于应用 跟踪训练3如图 有一座抛物线型拱桥 桥下面在正常水位ab时宽20米 水位上升3米就达到警戒线cd 这时水面宽度为10米 若洪水到来时 水位以每小时0 2米的速度从警戒线开始上升 则再持续多少小时才能到拱桥顶 平面直角坐标系是以桥顶点为点o的 解答 解设所求抛物线的解析式为y ax2 设d 5 b 则b 10 b 3 把d b的坐标分别代入y ax2 即再持续5小时水位到达拱桥顶 达标检测 1 以x轴为对称轴的抛物线的通径 过焦点且与x轴垂直的弦 长为8 若抛物线的顶点在坐标原点 则其方程为a y2 8xb y2 8xc y2 8x或y2 8xd x2 8y或x2 8y 答案 解析 1 2 3 4 5 解析设抛物线y2 2px或y2 2px p 0 p 4 2 若抛物线y2 x上一点p到准线的距离等于它到顶点的距离 则点p的坐标为 1 2 3 4 5 答案 解析 解析由题意知 点p到焦点f的距离等于它到顶点o的距离 因此点p在线段of的垂直平分线上 3 已知过抛物线y2 8x的焦点作直线l 交抛物线于a b两点 若线段ab中点的横坐标为3 则 ab 的值为 1 2 3 4 5 答案 解析 10 解析由y2 8x 得p 4 设a x1 y1 b x2 y2 4 对于顶点在原点的抛物线 给出下列条件 焦点在y轴上 焦点在x轴上 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 抛物线的通径的长为5 由原点向过焦点的某条直线作垂线 垂足坐标为 2 1 符合抛物线方程为y2 10 x的条件是 要求填写合适条件的序号 1 2 3 4 5 答案 解析 解析由抛物线方程y2 10 x 知它的焦点在x轴上 所以 符合 设点p 2 1 可得kpo kpf 1 所以 也符合 而 显然不符合 通过计算可知 不合题意 所以应填 1 2 3 4 5 5 求适合下列条件的抛物线的标准方程 1 顶点在原点 对称轴为坐标轴 顶点到准线的距离为4 1 2 3 4 5 解答 因此 所求抛物线的标准方程为y2 16x或x2 16y 2 顶点是双曲线16x2 9y2 144的中心 准线过双曲线的左顶点 且垂直于坐标轴 1 2 3 4 5 解答 故抛物线顶点在原点 准线为x 3 由题意可设抛物线的标准方程为y2 2px p 0 因此 所求抛物线的标准方程为y2 12x