5题应该的最大值全国卷2理全解全析

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第卷1至2页第卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号不能答在试题卷上3本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径一、选择题1设集合，（ ）AB CD【答案】B【解析】，【高考考点】集合的运算，整数集的符号识别2设且，若复数是实数，则（ ）ABCD【答案】A【解析】，因是实数且 ，所以【高考考点】复数的基本运算3函数的图像关于（ ）A轴对称 B 直线对称 C 坐标原点对称 D 直线对称【答案】C【解析】是奇函数，所以图象关于原点对称【高考考点】函数奇偶性的性质4若，则（ ）A B C D 【答案】C【解析】由，令且取知5设变量满足约束条件：，则的最小值（ ）ABCA B C D【答案】D【解析】如图作出可行域，知可行域的顶点是、及。于是在点取得最小值，即。6从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）ABCD【答案】D【解析】7的展开式中的系数是（ ）A B C3 D4 【答案】B【解析】【易错提醒】容易漏掉项或该项的负号8若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ ）A1B C D2【答案】B【解析】在同一坐标系中作出及在的图象，由图象知，当，即时，得，（方法二）：。【高考考点】三角函数的图象，两点间的距离【备考提示】函数图象问题是一个常考常新的问题9设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）AB CD【答案】B【解析】，因为是减函数，所以当时 ，所以，即 （讨论的技巧性）。【高考考点】解析几何与函数的交汇点10已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）AB CD【答案】C【解析】连接AC、BD交于O，连接OE，因OESD。所以AEO为所求。设侧棱长与底面边长都等于2，则在AEO中，OE1，AO，AE=，（或在中，）于是。11等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）A3 B2 C D【答案】A【解析】，设底边为由题意，到所成的角等于到所成的角于是有再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A【高考考点】两直线成角的概念及公式【备考提示】本题是由教材的一个例题改编而成。（人教版P49例7）12已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）A1 B C D2【答案】C【解析】设两圆的圆心分别为、，球心为，公共弦为AB，其中点为E，则为矩形，于是对角线,而，【高考考点】空间想象能力。球的有关概念，两平面垂直的性质2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修)第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13设向量，若向量与向量共线，则 【答案】 2【解析】则向量与向量共线14设曲线在点处的切线与直线垂直，则 【答案】 2【解析】，切线的斜率，所以由得15已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点设，则与的比值等于 【答案】【解析】设 由，（）； 由抛物线的定义知。【高考考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用16平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件 ；充要条件 （写出你认为正确的两个充要条件）【答案】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形注：上面给出了四个充要条件如果考生写出其他正确答案，同样给分三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）在中， （）求的值；（）设的面积，求的长【解析】（）由，得，由，得所以5分（）由 得，由（）知，故，8分又 ，故 ，所以10分18（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为（）求一投保人在一年度内出险的概率；（）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）【解析】 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则（）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当，2分，又，故5分（）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和支出 ，盈利 ，盈利的期望为 ，9分由知，（元）故每位投保人应交纳的最低保费为15元12分19（本小题满分12分）如图，正四棱柱中，点在上且（）证明：平面；（）求二面角的大小【解析】解法一：依题设知，（）连结交于点，则由三垂线定理知，3分在平面内，连结交于点，由于，故，与互余于是与平面内两条相交直线都垂直，所以平面6分（）作，垂足为，连结由三垂线定理知，故是二面角的平面角8分，又，所以二面角的大小为12分 解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系依题设，3分（）因为，故，又，所以平面6分（）设向量是平面的法向量，则，故，令，则，9分等于二面角的平面角，所以二面角的大小为12分20（本小题满分12分）设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围【解析】（）依题意，即，由此得4分因此，所求通项公式为，6分（）由知，于是，当时，当时，又综上，所求的的取值范围是12分21（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点（）若，求的值；（）求四边形面积的最大值【解析】（）解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，2分如图，设，其中，且满足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化简得，解得或6分（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为，9分又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号所以的最大值为12分解法二：由题设，设，由得，故四边形的面积为9分，当时，上式取等号所以的最大值为12分22（本小题满分12分）设函数