1.4.3含有一个量词的命题的否定

1 4全称量词与存在量词 逻辑联结词 且 或 非 简单命题 不含逻辑联结词的命题 常用小写拉丁字母p q r s 表示 复合命题 由简单命题与逻辑联结词构成的命题 构成形式 p且q p或q 非p 注意 简单命题与复合命题区别 是否有逻辑联结词 分别记作 p q p q p 知识回顾 哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一 1742年 由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现 1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉 正式提出了以下的猜想 任何一个大于6的偶数都可以表示成两个质数之和 任何一个大于9的奇数都可以表示成三个质数之和 这就是哥德巴赫猜想 欧拉在回信中说 他相信这个猜想是正确的 但他不能证明 从此 这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意 哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的 明珠 中国数学家陈景润于1966年证明 任何充分大的偶数都是一个质数与两个质数的乘积的和 通常这个结果表示为 1 2 这是目前这个问题的最佳结果 科学猜想也是命题 哥德巴赫猜想迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被推翻的命题 问 这里的 任何 作何理解 阅读教材P21 23 找出疑惑之处 思考 下列语句是命题吗 1 与 3 之间 2 4 之间有什么关系 1 2 2x 1是整数 3 对所有的 4 对任意一个2x 1是整数 短语 对所有的 对任意一个 在逻辑中通常叫做全称量词 并用符号 表示 含有全称量词的命题 叫做全称命题 常见的全称量词还有 所有的 任意一个 一切 每一个 任给 凡 等 短语 对所有的 对任意一个 在逻辑中通常叫做全称量词 并用符号 表示 含有全称量词的命题 叫做全称命题 符号全称命题 对M中任意一个x有 p x 成立 可用符号简记为读作 对任意x属于M 有p x 成立 分析 要判定一个全称命题 是真命题 需要对集合M中每一个元素x 证明p x 成立 如果在集合M中找到一个元素x0 使得p x0 不成立 那么这个全称命题就是假命题 解 1 2是素数 所以全称命题 所有的素数都是奇数 是假命题 2 总有 所以全称命题 是真命题 3 是无理数 但是有理数 所以全称命题 对每一个无理数x x2也是无理数 是假命题 但2不是奇数 说明 要判断一个全称命题为真 必须对在给定集合的每一个元素x 使命题p x 为真 但要判断一个全称命题为假时 只要在给定的集合中找到一个元素x 使命题p x 为假 真命题 假命题 假命题 特称命题 存在M中的一个x 使p x 成立 可用符号简记为读做 存在一个x0 使p x0 成立 x0 M p x0 例如 命题 有的平行四边形是菱形 有一个素数不是奇数 有的向量方向不定 存在一个函数 既是偶函数又是奇函数 有一些实数不能取对数 解 1 由于 因此使的实数x不存在 所以特称命题 有一个实数x0 使x02 2x0 3 0 是假命题 2 由于垂直于同一条直线的平面是互相平行的 因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线 3 由于存在整数3只有两个正因数1和3 所以特称命题 存在两个相交平面垂直于同一条直线 是假命题 所以特称命题 有些整数只有两个正因数 是真命题 说明 要判断一个特称命题为真 只要在给定的集合中找到一个元素x 使命题p x 为真 要判断一个特称命题为假 必须对在给定集合的每一个元素x 使命题p x 为假 真命题 真命题 真命题 例3 判断下列命题是全称命题 还是特称命题 1 方程2x 5只有一解 2 凡是质数都是奇数 3 方程2x2 1 0有实数根 4 没有一个无理数不是实数 5 如果两直线不相交 则这两条直线平行 6 集合A B是集合A的子集 分析 判定命题是全称命题还是特称命题 主要是看命题中是否含有全称量词或者存在量词 但要注意的是有些全称命题没有全称量词 这时我们要根据命题涉及的意义去判断 解 全称命题有 2 4 5 6 特称命题有 1 3 例4 用符号 与 表示下列含有量词的命题 1 自然数的平方大于0 2 圆x2 y2 r2上任一点到圆心的距离是r 3 存在一对整数x y 使得2x 4y 3 4 存在一个无理数 它的立方是有理数 解 1 2 P P在圆x2 y2 r2上 O为圆心 OP r 3 是整数 4 是无理数 探究 x0 M p x0 x0 M p x0 x0 M p x0 3 x0 R x02 2x0 1 0 从命题形式上看 这三个全称命题的否定都变成了特称命题 一般地 对于含有一个量词的全称命题的否定 有下面的结论 全称命题p 注意 1 全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 2 命题的否定与命题的否命题是不同的 它的否定 x0 M p x0 2 命题的否定与命题的否命题是不同的 3 常见关键词的否定 例5 写出下列全称命题的否定 并判断真假 1 p 所有能被3整除的整数都是奇数 2 p 每一个四边形的四个顶点共圆 3 p 对任意x Z x2的个位数字不等于3 解 1 p 存在一个能被3整除的整数不是奇数 真命题 2 p 存在一个四边形 它的四个顶点不共圆 真命题 3 p 的个位数字等于3 假命题 说明 否定时 不能只是简单的否定结论 全称命题的否定变成特称命题 探究 否定 1 所有实数的绝对值都不是正数 2 每一个平行四边形都不是菱形 3 x0 M p x0 x0 M p x0 x0 M p x0 3 x0 R x02 1 0 从命题形式上看 这三个特称命题的否定都变成了全称命题 特称命题 它的否定 特称命题的否定是全称命题 x0 M p x0 一般地 对于含有一个量词的特称命题的否定 有下面的结论 例6 写出下列特称命题的否定 并判断真假 1 2 p 有的三角形是等边三角形 3 p 有一个素数含三个正因数 p x0 R x02 2x0 2 0 解 1 p 2 p 所有的三角形都不是等边三角形 假命题 真命题 3 p 每一个素数都不含三个正因数 真命题 说明 否定时 不能只是简单的否定结论 特称命题的否定变成全称命题 解题中会遇到省略了 所有 任何 任意 等量词的简化形式 这种情形下时应先将命题写成完整形式 再依据法则来写出其否定形式 隐蔽性否定命题的确定 例7 写出下列命题的否定 1 若x2 4 则x 2 2 若m 0 则x2 x m 0有实数根 3 可以被5整除的整数 末位是0 4 被8整除的数能被4整除 5 若一个四边形是正方形 则它的四条边相等 例7 写出下列命题的否定 1 若x2 4 则x 2 2 若m 0 则x2 x m 0有实数根 3 可以被5整除的整数 末位是0 4 被8整除的数能被4整除 5 若一个四边形是正方形 则它的四条边相等 解 1 原命题完整表述 对任意的实数x 若x2 4 则x 2 它的否定 存在实数x0 满足x02 4 但x0 2 2 原命题完整表述 对任意实数m 若m 0 则x2 x m 0有实数根 它的否定 存在非零实数m0 使x2 x m 0无实数根 3 原命题完整表述 所有可以被5整除的整数 末位是0 否定 存在一个可以被5整除的整数 其末位不是0 例7 写出下列命题的否定 1 若x2 4 则x 2 2 若m 0 则x2 x m 0有实数根 3 可以被5整除的整数 末位是0 4 被8整除的数能被