人教A版必修三 用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件（29张）.pptx

2 2 2用样本的数字特征估计总体的数字特征 1 掌握众数 中位数 平均数 标准差 方差的定义和特征 2 会求众数 中位数 平均数 标准差 方差 并能用来解决有关问题 1 众数 1 定义 一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数 2 特征 一组数据中的众数可能不止一个 也可能没有 反映了该组数据的集中趋势 名师点拨众数体现了样本数据的最大集中点 但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征 答案 4 2 中位数 1 定义 一组数据按从小到大 或从大到小 的顺序排成一列 处于最中间位置的一个数或两个数的平均值称为这组数据的中位数 2 特征 一组数据的中位数是唯一的 反映了该组数据的集中趋势 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积相等 名师点拨中位数不受少数几个极端值的影响 这在某些情况下是优点 但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 做一做2 一组数据 5 7 9 6 1 0的中位数是 答案 3 3 平均数 1 定义 一组数据的和与这组数据的个数的商 数据x1 x2 xn的平均数为 2 特征 平均数对数据有 取齐 的作用 代表该组数据的平均水平 任何一个数据的改变都会引起平均数的变化 这是众数和中位数都不具有的性质 所以与众数 中位数比较起来 平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息 但平均数受数据中极端值的影响较大 使平均数在估计总体时可靠性降低 做一做3 10名工人某天生产同一零件 生产的件数是15 17 14 10 15 17 17 16 14 12 则其平均数是 答案 14 7 4 标准差 1 定义 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离 一般用s表示 通常用以下公式来计算 可以用计算器或计算机计算标准差 2 特征 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小 反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小 标准差较大 数据的离散程度较大 标准差较小 数据的离散程度较小 答案 c 5 方差 1 定义 标准差的平方 即 2 特征 与标准差的作用相同 描述一组数据围绕平均数波动程度的大小 3 取值范围 0 知识拓展 做一做5 用来刻画一组数据离散程度的是 a 平均数b 方差c 中位数d 众数答案 b 6 用样本估计总体现实中的总体所包含的个体数往往很多 总体的平均数 众数 中位数 标准差 方差是不知道的 因此 通常用样本的平均数 众数 中位数 标准差 方差来估计 这与上一节用样本的频率分布来估计总体分布类似 只要样本的代表性好 这样做就是合理的 也是可以接受的 归纳总结用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类 用样本平均数估计总体平均数 用样本标准差估计总体标准差 样本容量越大 估计就越精确 做一做6 1 下列判断正确的是 a 样本平均数一定小于总体平均数b 样本平均数一定大于总体平均数c 样本平均数一定等于总体平均数d 样本容量越大 样本平均数越接近总体平均数答案 d 做一做6 2 电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试 得数据如下 单位 h 30 35 25 25 30 34 26 25 29 21 则该日生产电池的平均寿命估计为 a 27hb 28hc 29hd 30h答案 b 1 众数 中位数 平均数与频率分布直方图的关系剖析 1 在样本数据的频率分布直方图中 众数的估计值就是最高矩形上端中点的横坐标 2 在频率分布直方图中 中位数左右两侧的直方图的面积相等 但是因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的特征 因而从直方图本身得不出原始的数据内容 所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数的值不一致 3 平均数显然是频率分布直方图的 重心 在频率分布直方图中 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 2 理解方差与标准差剖析 1 标准差 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小 标准差 方差越大 数据的离散程度越大 标准差 方差越小 数据的离散程度越小 2 标准差 方差的取值范围是 0 标准差 方差为0时 样本各数据全相等 表明数据没有波动幅度 数据没有离散性 3 因为方差与原始数据的单位不同 且平方后可能夸大了偏差的程度 所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的 但在解决实际问题时 一般多采用标准差 题型一 题型二 题型三 题型四 众数 中位数 平均数的应用 例1 某工厂人员及月工资构成如下 1 指出这个问题中的众数 中位数 平均数 2 这个问题中 平均数能客观地反映该工厂人员的月工资水平吗 为什么 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 由表格可知 众数为3000元 把23个数据按从小到大 或从大到小 的顺序排列 排在最中间的数应是第12个数 其值为4200 故中位数为4200元 平均数为107000 23 4652 元 2 虽然平均数为4652元 但由表格中所列出的数据可见 只有经理及管理人员在平均数以上 其余的人都在平均数以下 故用平均数不能客观真实地反映该工厂人员的月工资水平 反思1 如果样本平均数大于样本中位数 说明数据中存在较大的极端值 在实际应用中 如果同时知道样本中位数和样本平均数 可以使我们了解样本数据中的极端数据信息 帮助我们作出决策 2 众数 中位数 平均数三者比较 平均数更能体现每个数据的特征 它是各个数据的重心 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 高一 3 班有男同学27名 女同学21名 在一次语文测验中 男同学的平均分是82分 中位数是75分 女同学的平均分是80分 中位数是80分 1 求这次测验全班的平均分 精确到0 01 2 估计全班成绩在80分以下 含80分 的同学至少有多少人 3 分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因 解 1 利用平均数计算公式 得 2 因为男同学得分的中位数是75分 所以至少有14人得分不超过75分 又因为女同学得分的中位数是80分 所以至少有11人得分不超过80分 所以全班至少有25人得分不超过80分 3 男同学的平均分与中位数相差较大 说明男同学中两极分化现象严重 得分高的和得分低的相差较大 题型一 题型二 题型三 题型四 方差的应用 例2 甲 乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果 从中各抽出10袋 测得其实际质量分别如下 单位 克 甲 203204202196199201205197202199乙 201200208206210209200193194194 1 分别计算两个样本的平均数与方差 2 从计算结果看 哪台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近200克 哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思研究两个样本的波动情况或比较它们的稳定性 可靠性等性能好坏的这类题 先求平均数 比较一下哪一个更接近标准 若平均数相等 则再通过比较两个样本方差的大小来作出判断 在计算过程中 要仔细观察所给样本数据的特征 选择恰当的公式来计算平均数和方差 这样可避免计算的烦琐 降低错误率 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 甲 乙两台机床同时加工直径为100cm的零件 为检验质量 各从中抽取6件测量 数据如下 单位 cm 甲 9910098100100103乙 9910010299100100 1 分别计算两组数据的平均数及方差 2 根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量比较稳定 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 频率分布表 直方图 与数字特征的综合应用 例3 某中学举行电脑知识竞赛 现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图 求 1 高一参赛学生成绩的众数 中位数 2 高一参赛学生的平均成绩 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 用频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点值作为众数的近似值 得众数为65 又由题图可知 从左到右的第一 二 三 四 五小组的频率分别是0 30 0 40 0 15 0 10 0 05 则第一个小矩形的面积为0 3 设第二个小矩形底边的一部分长为x 则x 0 04 0 2 得x 5 故中位数为60 5 65 2 依题意 平均成绩约为55 0 3 65 0 4 75 0 15 85 0 1 95 0 05 67 故平均成绩约为67 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 在频率分布直方图中 众数就是最高矩形的底边中点的横坐标 2 在频率分布直方图中 中位数左边与右边的直方图的面积应该相等 由此可以估计中位数的值 3 在频率分布直方图中 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和 4 利用频率分布直方图求众数 中位数 平均数均为近似值 往往与实际数据得出的不一致 但它们能粗略估计其众数 中位数与平均数 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 甲 乙两人在一次射击比赛中各射靶5次 两人成绩的条形统计图如图所示 则 a 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数b 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数c 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差d 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 题型一 题型二 题型三 题型四 甲的极差是4 乙的极差是4 所以a b d错误 c正确 答案 c 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点 不能正确利用数字特征判断问题 例4 小明是班里的优秀学生 他的历次数学成绩是96 98 95 93 45分 最近一次考试成绩只有45分的原因是他带病参加了考试 期末评价时 怎样给小明评价 90分及90分以上为优秀 75 90分为良好 错解 这5次数学考试的平均分是 则按平均分给小明一个 良好 错因分析 这种评价是不合理的 尽管平均分是反映一组数据平均水平的重要特征 但任何一个数据的改变都会引起它的变化 而中位数则不受某些极端值的影响 本题中的5个成绩从小到大排列为 45 93 95 96 98 中位数是95 较为合理地反映了小明的数学水平 因而应该用中位数来衡量小明的数学成绩 题型一 题型二 题型三 题型四 正解 小明5次考试成绩从小到大排列为45 93 95 96 98 中位数是95 应评定为 优秀 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练4 已知一组数据6 8 10 x的中位数与平均数相等 则这样的x有个 解析 1 若这组数据按从小到大的顺序排列为x 6 8 10 则中位数是 8 6 2 7 此时平均数是 x 6 8 10 4 7 解得x 4 符合排列顺序