2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修2-2

2 2 2反证法 1 反证法假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 从而证明了 这种证明方法叫做反证法 2 反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与 矛盾 或与 矛盾或与 矛盾等 不成立 假设错误 原命题成立 已知条件 假设 定义 公理 定理 事实 1 反证法是 a 从结论的反面出发 推出矛盾的证法b 对其否命题的证明c 对其逆命题的证明d 分析法的证明方法 答案 a 2 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用 结论相反判断 即假设 原命题的条件 公理 定理 定义等 原结论 a b c d 答案 c 3 否定 自然数a b c中恰有一个偶数 时 正确的说法为 a a b c都是奇数b a b c都是偶数c a b c中至少有两个偶数d a b c中至少有两个偶数或都是奇数 答案 d 4 用反证法证明命题 x2 a b x ab 0 则x a且x b 时应假设为 答案 x a或x b 解析 否定结论时 一定要全面否定 x a且x b的否定为x a或x b 例1 设a b c d r且ad bc 1 求证 a2 b2 c2 d2 ab cd 1 解题探究 此题结论为否定形式的命题 可考虑用反证法进行证明 否定 型命题 1 一般当题目中含有 不可能 都不 等否定性词语时 宜采用反证法证明 2 用反证法证明数学命题的步骤 1 反设 假设命题的结论不成立 即假定原结论的反面为真 2 归谬 从反面和已知条件出发 经过一系列正确的逻辑推理 得出矛盾的结果 3 存真 由矛盾的结果断定反设不真 从而肯定原结论成立 1 已知a b c是一组勾股数 即a2 b2 c2 求证 a b c不可能都是奇数 证明 假设a b c都是奇数 a b c是一勾股数 a2 b2 c2 a b c都是奇数 a2 b2 c2也都是奇数 a2 b2是偶数 这样 式的左边是偶数 右边是奇数 产生矛盾 a b c不可能都是奇数 例2 已知a与b是异面直线 求证 过a且平行于b的平面只有一个 解题探究 结论以 只有一个 形式出现 可采用反证法进行证明 唯一 型命题 证明 如图 假设过直线a且平行于直线b的平面至少有两个 分别为 和 在直线a上取点a 过b和a确定一个平面 且 与 分别交于过点a的直线c d 由b 知b c 同理b d 故c d 这与c d相交于点a矛盾 故假设不成立 原结论成立 唯一 型命题从正面往往难于证明 可采用反证法假设不唯一 经推理得出矛盾 值得注意的是 若命题中含有 有且只有 唯一存在 等语句 则既要证明存在性 又要证明唯一性 2 求证 方程2x 3有且只有一个根 证明 x log23时 2x 3 这说明方程2x 3有根 下面用反证法证明方程2x 3的根是唯一的 假设方程2x 3至少有两个根b1 b2 b1 b2 则2b1 3 2b2 3 两式相除得2b1 b2 1 若b1 b2 0 则2b1 b2 1 这与2b1 b2 1相矛盾 若b1 b2 0 则2b1 b2 1 这也与2b1 b2 1相矛盾 b1 b2 0 则b1 b2 假设不成立 从而原命题得证 至多 至少 型命题 题目叙述中有 至少 至多 等字眼 用反证法证明可减少讨论情况 此外 对于此类问题 需仔细体会 至少有一个 至多有一个 等词的含义 弄清结论的否定是什么 避免出现错误 3 若函数f x 在区间 a b 上是增函数 那么方程f x 0在区间 a b 上至多有一个实根 反设出错致误 例4 已知a b c是互不相等的非零实数 求证 三个方程ax2 2bx c 0 bx2 2cx a 0 cx2 2ax b 0至少有一个方程有两个相异实根 正解 假设三个方程都没有两个相异实根 则 1 4b2 4ac 0 2 4c2 4ab 0 3 4a2 4bc 0 相加 有a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ac a2 0 即 a b 2 b c 2 c a 2 0 由题意a b c互不相等 可知上式不能成立 所以假设不成立 即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根 警示 用反证法证明含有 至少 至多 等字眼的命题时 一定要先写出正确的否定 用反证法证题要把握三点 1 必须先否定结论 对于结论的反面出现的多种可能 要逐一论证 缺少任何一种可能 证明都是不完全的 2 反证法必须从否定结论进行推理且必须根据这一条件进行论证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行论证 就不是反证法 3 推导出来的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与定理 公理相违背 但推导出的矛盾必须是明显的 1 用反证法证明命题 三角形的内角中至多有一个钝角 时 反设正确的是 a 三个内角中至少有一个钝角b 三个内角中至少有两个钝角c 三个内角都不是钝角d 三个内角都不是钝角或至少有两个钝角 答案 b 2 已知a b是异面直线 直线c平行于直线a 那么c与b的位置关系为 a 一定是异面直线b 一定是相交直线c 不可能是平行直线d 不可能是相交直线 答案 c 3 2018年河北秦皇岛模拟 若a b c是不全相等的正数 给出下列判断 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b与a b及a b中至少有一个成立 a c b c a b不能同时成立 其中判断正确的个数是 a 0b 1c 2