同角三角函数的基本关系

第三章三角恒等变形 1同角三角函数的基本关系 学习目标1 能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式 2 理解同角三角函数的基本关系式 3 能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简 求值和证明 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点同角三角函数的基本关系式 思考1计算下列式子的值 1 sin230 cos230 2 sin245 cos245 3 sin290 cos290 由此你能得出什么结论 尝试证明它 答案3个式子的值均为1 由此可猜想 对于任意角 有sin2 cos2 1 下面用三角函数的定义证明 设角 的终边与单位圆的交点为P x y 则由三角函数的定义 得sin y cos x sin2 cos2 x2 y2 OP 2 1 思考2由三角函数的定义知 tan 与sin 和cos 间具有怎样的等量关系 梳理 1 同角三角函数的基本关系式 平方关系 商数关系 2 同角三角函数基本关系式的变形 sin2 cos2 1的变形公式sin2 cos2 sin cos sin2 cos2 1 1 cos2 1 sin2 cos tan 思考辨析判断正误 1 sin2 cos2 1 提示在同角三角函数的基本关系式中要注意是 同角 才成立 即sin2 cos2 1 答案 提示 题型探究 类型一利用同角三角函数的关系式求值 命题角度1已知角 的某一三角函数值及 所在象限 求角 的其余三角函数值 答案 解析 反思与感悟同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系 其常用的用途是 知一求二 即在sin cos tan 三个值之间 知道其中一个可以求其余两个 解题时要注意角 的象限 从而判断三角函数值的正负 又sin2 cos2 1 又 是第三象限角 解答 命题角度2已知角 的某一三角函数值 未给出 所在象限 求角 的其余三角函数值 解答 是第二或第三象限角 1 当 是第二象限角时 则 2 当 是第三象限角时 则 反思与感悟利用同角三角函数关系式求值时 若没有给出角 是第几象限角 则应分类讨论 先由已知三角函数的值推出 的终边可能在的象限 再分类求解 解答 是第二或第三象限角 1 若 是第二象限角 2 若 是第三象限角 综上可知 13sin 5tan 0 类型二利用同角三角函数关系化简 是第三象限角 cos 0 解答 反思与感悟解答这类题目的关键在于公式的灵活运用 切实分析好同角三角函数间的关系 化简过程中常用的方法有 1 化切为弦 即把非正弦 余弦的函数都化为正弦 余弦函数 从而减少函数名称 达到化简的目的 2 对于含有根号的 常把根号下化成完全平方式 然后去根号达到化简的目的 3 对于化简含高次的三角函数式 往往借助于因式分解 或构造sin2 cos2 1 以降低函数次数 达到化简的目的 解答 解 是第二象限角 cos 0 解答 类型三利用同角三角函数关系证明 原等式成立 证明 反思与感悟证明三角恒等式的过程 实质上是化异为同的过程 证明恒等式常用以下方法 1 证明一边等于另一边 一般是由繁到简 2 证明左 右两边等于同一个式子 左 右归一 4 证明与已知等式等价的另一个式子成立 从而推出原式成立 证明 证明方法一 比较法 作差 方法二 比较法 作商 方法三 综合法 1 sinx 1 sinx 1 sin2x cos2x cosx cosx 类型四齐次式求值问题 例5已知tan 2 求下列代数式的值 解答 反思与感悟 1 关于sin cos 的齐次式 可以通过分子 分母同除以cos 或cos2 转化为关于tan 的式子后再求值 2 注意假如代数式中不含分母 可以视分母为1 灵活地进行 1 的代换 由1 sin2 cos2 代换后 再同除以cos2 构造出关于tan 的代数式 所以tan 3 解答 2 sin2 2sin cos 1 解答 达标检测 1 2 4 5 3 答案 解析 1 2 4 5 3 答案 解析 答案 解析 1 2 4 5 3 1 2 4 5 3 4 若tan 2 则sin cos 答案 解析 是第一或第二象限角 1 2 4 5 3 解答 规律与方法 1 利用同角三角函数的基本关系式 可以由一个角的一个三角函数值 求出这个角的其他三角函数值 2 利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简 结果要求 1 项数尽量少 2 次数尽量低 3 分母 根式中尽量不含三角函数 4 能求值的尽可能求值 3 在三角函数的变换求值中 已知sin cos sin cos sin cos 中的一个 可以利用方程思想 求出另外两个的值 4 在进行三角函数式的化简或求值时 细心观察题目的特征 灵活 恰当地选用公式 统一角 统一函数 降低次数是三角函数关系式变形的出发点 利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数 要掌握 切化弦 和 弦化切 的方法 5 在化简或恒等式证明