人教高中数学必修第二册抛物线及其标准方程3

抛物线及其标准方程【教学目标】1.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程2.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力3.通过一个简单实验引入抛物线的定义，对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育【重点难点】1. 重点：抛物线的定义和标准方程(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)2. 难点：抛物线的标准方程的推导(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系)【教学过程】（一）导出课题：我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线今天我们将学习第四种圆锥曲线抛物线，以及它的定义和标准方程课题是“抛物线及其标准方程”请大家思考两个问题：问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于轴、开口向上或开口向下两种情形引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线(二)抛物线的定义1回顾：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数的轨迹，当时是椭圆，当时是双曲线，那么当时，它又是什么曲线？2简单实验如图,把一根直尺固定在画图板内直线的位置上,一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点,截取绳子的长等于到直线的距离,并且把绳子另一端固定在图板上的一点；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结3定义：平面内与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点不在定直线 上)定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线(三)抛物线的标准方程设定点到定直线的距离为(为已知数且大于)下 面，我们来求抛物线的方程怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立 直角坐标系的几种方案：方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板)以为轴，过点与直线垂直的直线为轴建立直角坐标 系(图).设定点，动点的坐标为,过 作轴于,抛物线的集合为: 由坐标表示得:,化简后得:.方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)以定点为原点,平行的直线为轴建立直角坐标系(图).设 动点的坐标为,且设直线的方程为,定点， 过作于,抛物线的集合为：由坐标表示得：化简得:方案3:(由第三、四组同学完成，请一优等生演板)取过焦点且垂直于准线的直线为轴,轴与交于,以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系(图)设,则焦点的坐标为,准线的方程为,设抛物线上的点到的距离为,抛物线是集合. 化简后得:.比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：图 形标准方程焦点坐标准线方程开口方向向右向左向上向下由学生讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆即:当对称轴为轴时,方程等号右端为,相应地左端为；当对称轴为轴时，方程等号的右端为,相应地左端为同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号(四)四种标准方程的应用例1.已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程. 解:焦点坐标,准线方程例2.已知抛物线的焦点坐标是,求它的标准方程 解:练习:根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是； (2)准线方程是 (3)焦点到准线的距离是 答案是：(1)y=12x； (2)y=x； (3)y=4x，y=4x，x=4y，x=4y由三名学生演板，教师予以订正 这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数，因此只要给出确定的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解(五)小结：本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用五、作业： 1.抛物线上一点到焦点的距离是,点到准线的距离是多少？点的横坐标是多少？2求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)；(2)