3.4 数列综合应用

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编第三章 数列四 数列综合应用【考点阐述】数列综合应用【考试要求】（4）运用等差数列、等比数列及求和知识解决数列综合问题。【考题分类】（一）选择题（共5题）1.（海南宁夏卷理7）等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=（A）7 （B）8 （3）15 （4）16解析：4，2，成等差数列，,选C.2.（湖北卷理10文10）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378【答案】C【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除A、D，又由知必为奇数，故选C.3.（江西卷理8）数列的通项，其前项和为，则为A B C D答案：A【解析】由于以3 为周期,故故选A4.（江西卷文8）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90答案：C【解析】由得得,再由得则,所以,.故选C5.（重庆卷文5）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A B CD【答案】A解析;设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和（二）填空题（共2题）1.（江苏卷14）设是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则= . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -92.（浙江卷文16）设等差数列的前项和为，则，成等差数列类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列答案: 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，成等比数列w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （三）解答题（共25题）1. （安徽卷文19）已知数列 的前n项和，数列的前n项和（）求数列与的通项公式；（）设，证明：当且仅当n3时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【思路】由可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出后，进而得到，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。【解析】(1)由于当时, 又当时数列项与等比数列,其首项为1,公比为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)由(1)知由即即又时成立,即由于恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因此,当且仅当时, 2. （北京卷理20）已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（）证明：，且；（）证明：当时，成等比数列.k.s.5. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（）由于与均不属于数集，该数集不具有性质P. 由于都属于数集， 该数集具有性质P. （）具有性质P，与中至少有一个属于A，由于，故. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 从而，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ， ，故. 由A具有性质P可知.又，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 从而，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）由（）知，当时，有，即， ，由A具有性质P可知. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由，得，且，即是首项为1，公比为成等比数列.k.s.5.3. （北京卷文20）设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（）若，求；（）若，求数列的前2m项和公式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式综合的较难层次题.（）由题意，得，解，得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 成立的所有n中的最小整数为7，即. （）由题意，得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 对于正整数，由，得.根据的定义可知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，；当时，. . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有，即对任意的正整数m都成立. 当（或）时，得（或）， 这与上述结论矛盾！w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当，即时，得，解得. 存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4. （广东卷文20）已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前n项和为,数列的首项为c，且前n项和满足=+（n2）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列前n项和为，问的最小正整数n是多少?【解析】（1）, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m , .又数列成等比数列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；()；（2） ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得，满足的最小正整数为112.5. （湖北卷文19）已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a655, a2+a716.()求数列an的通项公式：（）若数列an和数列bn满足等式：an，求数列bn的前n项和Sn w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解（1）解：设等差数列的公差为d，则依题设d0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由a2+a716.得 由得 由得将其代入得。即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）令两式相减得于是=-4=6. （湖南卷理21）对于数列若存在常数M0,对任意的，恒有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则称数列为B-数列（1） 首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；（2） 设是数列的前项和，给出下列两组论断；A组：数列是B-数列 数列不是B-数列B组：数列是B-数列 数列不是B-数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3） 若数列都是数列，证明：数列也是数列。解（1）设满足题设的等比数列为,则，于是 因此- +-+-=因为所以即w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。（2）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列 次命题为假命题。 事实上，设，易知数列是B-数列，但 由的任意性知，数列是B-数列此命题为。命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列此命题为真命题事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即。于是 所以数列是B-数列。（III）若数列 是数列，则存在正数，对任意的有 注意到 同理： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 记，则有因此 +故数列是数列w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7. （湖南卷文21）对于数列,若存在常数M0,对任意的，恒有 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则称数列为数列.（）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;（）设是数列的前n项和.给出下列两组判断：A组：数列是B-数列, 数列不是B-数列;B组：数列是B-数列, 数列不是B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；()若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。解: （）设满足题设的等比数列为,则.于是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m =所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列 .（）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题.事实上设=1，易知数列是B-数列，但=n， .由n的任意性知，数列不是B-数列。命题2：若数列是B-数列，则数列不是B-数列。此命题为真命题。事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有 , 即.于是,所以数列是B-数列。（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有 .因为 .记，则有 .因此.故数列是B-数列.8. （江西卷理22）各项均为正数的数列，且对满足的正整数都有（1）当时，求通项 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有解：（1）由得将代入化简得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故数列为等比数列，从而即可验证，满足题设条件.(2) 由题设的值仅与有关,记为则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 考察函数 ,则在定义域上有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故对， 恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又 ,注意到,解上式得取,即有 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9. （江西卷文21）数列的通项，其前n项和为. (1) 求; (2) 求数列的前n项和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 两式相减得故 10. （辽宁卷文17）等比数列的前n 项和为，已知,成等差数列 （1）求的公比q； （2）求3，求 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解： （）依题意有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由于 ，故 又，从而 5分 （）由已知可得 故 从而 10分11. （全国卷理20）在数列中， （I）设，求数列的通项公式 （II）求数列的前项和分析：（I）由已知有 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得 =评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。12. （全国卷文17）设等差数列的前项和为，公比是正数的等比数列的前项和为，已知的通项公式.【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前项和，基础题。解：设的公差为，数列的公比为，由题得解得。13. （全国卷理19）设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。解：（I）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以总体来说，09年高考理科数学全国I、这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。14. （山东卷文20）等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）求r的值； （11）当b=2时，记 求数列的前项和解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以（2）当b=2时，, 则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 相减,得 所以【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.15. （陕西卷文21）已知数列满足， .令，证明：是等比数列； ()求的通项公式。解析:（1）证当时，所以是以1为首项，为公比的等比数列。（2）解由（1）知当时，当时，。所以。16. （上海卷理23）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。（1） 若，是否存在，有说明理由； （2） 找出所有数列和，使对一切,并说明理由；（3） 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。解法一（1）由，得， 2分整理后，可得，、，为整数， 不存在、，使等式成立。 5分（2）若，即， （*）（）若则。 当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。 7分（）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，矛盾。综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。10分【解法二】设 则（i） 若d=0，则 （ii） 若（常数）即，则d=0，矛盾综上所述，有， 10分（3） 设.，. 13分取 15分由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1, 故当且仅当p=3s,sN时，命题成立.说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）若p为偶数，则am+1+am+2+am+p为偶数，但3k为奇数故此等式不成立，所以，p一定为奇数。当p=1时，则am+1=bk,即4m+5=3k，而3k=(4-1)k=当为偶数时，存在，使3k成立 1分当p=3时，则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk, 也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m, 4m+9=3k成立 2分当p=5时，则am+1+am+2+am+5=bk,即5am+3=bk也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在故不是所有奇数都成立. 2分17. （上海卷文23）已知是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列（1）若 ，是否存在，有？请说明理由；（2）若（a、q为常数，且aq0）对任意m存在k，有，试求a、q满足的充要条件；（3）若试确定所有的p,使数列中存在某个连续p项的和式数列中的一项，请证明. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解】（1）由得，整理后，可得、，为整数不存在、，使等式成立。（2）当时，则即，其中是大于等于的整数反之当时，其中是大于等于的整数，则，显然，其中、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数（3）设当为偶数时，式左边为偶数，右边为奇数，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当为偶数时，式不成立。由式得，整理得当时，符合题意。当，为奇数时， 由，得当为奇数时，此时，一定有和使上式一定成立。当为奇数时，命题都成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 18. （四川卷理22）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。解析:本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。解：（）当时，又 数列成等比数列，其首项，公比是.3分（）由（）知 = 又当当 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）由（）知一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设则 对一切大于1的奇数n恒成立只对满足的正奇数n成立，矛盾。另一方面，当时，对一切的正整数n都有事实上，对任意的正整数k，有 当n为偶数时，设则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当n为奇数时，设则1）。设=+.+ ,=-+.+(-1 ,n w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (I) 若= 1，d=2，q=3，求 的值；(II) 若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m () 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。（）解：由题设，可得所以， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）证明：由题设可得则 式减去式，得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 式加上式，得 式两边同乘q，得 所以， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因为所以 （1） 若，取i=n w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 若，取i满足且由（1）,(2)及题设知，且 当时，得即，又所以 因此 当同理可得，因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上，21. （天津卷文20）已知等差数列的公差d不为0，设（）若 ,求数列的通项公式；（）若成等比数列，求q的值。（）若【答案】（1）（2）（3）略【解析】 （1）解：由题设，代入解得，所以 （2）解：当成等比数列，所以，即，注意到，整理得（3）证明：由题设，可得，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m -得，+得， 式两边同乘以 q，得所以（3）证明：=因为，所以若，取i=n，若，取i满足，且，由（1）（2）及题设知，且 当时，由，即，所以因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，同