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2 3 3直线与圆的位置关系 第二章 2 3圆的方程 学习目标1 掌握直线与圆的三种位置关系 相交 相切 相离 2 会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系 3 会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 思考1若直线与圆只有一个公共点 则直线与圆一定相切吗 知识点直线与圆的位置关系 答案一定 由直线与圆的位置关系可得 思考2若直线与圆有公共点 则圆心到直线的距离满足什么条件 答案当直线与圆有公共点时 圆心到直线的距离小于或等于半径 梳理直线ax by c 0与圆 x a 2 y b 2 r2的位置关系及判断 2 1 0 思考辨析判断正误 1 若直线与圆有公共点 则直线与圆相交 2 如果直线与圆组成的方程组有解 则直线和圆相交或相切 3 若圆心到直线的距离大于半径 则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解 题型探究 例1求实数m的取值范围 使直线x my 3 0与圆x2 y2 6x 5 0分别满足 相交 相切 相离 类型一直线与圆的位置关系的判断 解圆的方程化为标准形式为 x 3 2 y2 4 解答 反思与感悟直线与圆的位置关系的判断方法 1 几何法 由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断 2 代数法 根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断 3 直线系法 若直线恒过定点 可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系 但有一定的局限性 必须是过定点的直线系 跟踪训练1 1 对任意的实数k 直线y kx 1与圆x2 y2 2的位置关系一定是a 相离b 相切c 相交但直线不过圆心d 相交且直线过圆心 解析 解析直线y kx 1恒过定点 0 1 由定点 0 1 在圆x2 y2 2内 得直线y kx 1与圆x2 y2 2一定相交 又直线y kx 1的斜率存在 则该直线必不过圆心 0 0 故选c 答案 解析 解析当直线l斜率不存在时 直线l与圆x2 y2 1没有公共点 答案 0 60 0 60 例2 1 若圆c x2 y2 2x 4y 3 0关于直线2ax by 6 0对称 则由点 a b 向圆所作的切线长的最小值是a 2b 3c 4d 6 类型二切线问题 答案 解析 解析因为过圆外一点的圆的切线长l 半径长r和点到圆心的距离d满足勾股定理 即l2 d2 r2 所以切线长最短时该点到圆心的距离最小 转化成求该点与圆心的距离的最小值问题 2 过点a 1 4 作圆 x 2 2 y 3 2 1的切线l 求切线l的方程为 解析 解析 1 2 2 4 3 2 10 1 点a在圆外 当直线l的斜率不存在时 l的方程是x 1 不满足题意 设直线l的斜率为k 则切线l的方程为y 4 k x 1 即kx y 4 k 0 答案 y 4或3x 4y 13 0 因此 所求直线l的方程为y 4或3x 4y 13 0 反思与感悟 1 过圆上一点 x0 y0 的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k 再由垂直关系得切线的斜率为 由点斜式可得切线方程 如果k 0或k不存在 则由图形可直接得切线方程为y y0或x x0 2 过圆外一点 x0 y0 的切线方程的求法设切线方程为y y0 k x x0 由圆心到直线的距离等于半径建立方程 可求得k 即得切线方程 当用此法只求出一个方程时 另一个方程应为x x0 因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况 而过圆外一点的切线有两条 一般不用联立方程组的方法求解 3 求切线长最小值的两种方法 代数法 直接利用勾股定理求出切线长 把切线长中的变量统一成一个 转化成函数求最值 几何法 把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题 解析 答案 点p在圆上 解析 解析如图所示 因为s四边形paob 2s poa 又oa ap 2 点p是直线2x y 10 0上的动点 pa pb与圆x2 y2 4分别相切于a b两点 则四边形paob面积的最小值为 答案 8 为使四边形paob面积最小 当且仅当 op 达到最小 类型三弦长问题 例3 1 过圆x2 y2 8内的点p 1 2 作直线l交圆于a b两点 若直线l的倾斜角为135 则弦ab的长为 解析 答案 解析方法一 交点法 由题意知 直线l的方程为y 2 x 1 即x y 1 0 方法二 弦长公式 由题意知 直线l的方程为y 2 x 1 即x y 1 0 消去y 得2x2 2x 7 0 设a x1 y1 b x2 y2 方法三 几何法 由题意知 直线l的方程为y 2 x 1 即x y 1 0 2 如果一条直线经过点且被圆x2 y2 25所截得的弦长为8 求这条直线的方程 解答 解圆x2 y2 25的半径r为5 直线被圆所截得的弦长l 8 故直线的方程为3x 4y 15 0 综上可知 满足题意的直线有两条 对应的方程分别为x 3和3x 4y 15 0 因为圆心o 0 0 到直线x 3的距离恰为3 所以直线x 3符合题意 反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法 跟踪训练3 1 过点 3 1 作圆 x 2 2 y 2 2 4的弦 其中最短弦的长为 答案 解析 解析设点a 3 1 易知圆心c 2 2 半径r 2 2 圆心为c 2 1 截直线y x 1的弦长为2的圆的方程为 答案 解析 解析设圆的半径为r 由条件 x 2 2 y 1 2 4 r2 2 2 4 得r 2 圆的方程为 x 2 2 y 1 2 4 达标检测 1 直线3x 4y 12 0与圆 x 1 2 y 1 2 9的位置关系是a 过圆心b 相切c 相离d 相交但不过圆心 1 2 3 4 5 答案 解析 2 直线x y m 0与圆x2 y2 m m 0 相切 则m的值为 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 3 设a b为直线y x与圆x2 y2 1的两个交点 则 ab 等于 解析直线y x过圆x2 y2 1的圆心c 0 0 则 ab 2 1 2 3 4 5 4 过点p 1 3 引圆x2 y2 9的切线的长是 解析 答案 1 5 过原点的直线与圆x2 y2 2x 4y 4 0相交所得弦的长为2 则该直线的方程为 1 2 3 4 5 解析 答案 2x y 0 解析设所求直线方程为y kx 即kx y 0 由于直线kx y 0被圆截得的弦长等于2 圆的半径是1 即圆心 1 2 位于直线kx y 0上 于是有k 2 0 即k 2 因此所求直线方程是2x y 0 规律与方法 1 判断直线和

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