历高考数学真题考点归纳第九章解析几何第二节圆锥曲线2

1 历年高考真题考点归纳历年高考真题考点归纳 20102010 年年 第九章第九章 解析几何解析几何 第二节第二节 圆锥曲线圆锥曲线 2 2 三 解答题三 解答题 1 1 20102010 上海文 上海文 2323 本题满分 本题满分 1818 分 本题共有分 本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分 第分 第 2 2 小题小题 满分满分 6 6 分 第分 第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分 已知椭圆 的方程为 22 22 1 0 xy ab ab 0 Ab 0 Bb 和 0 Q a为 的三个顶点 1 若点M满足 1 2 AMAQAB 求点M的坐标 2 设直线 11 lyk xp 交椭圆 于C D两点 交直线 22 lyk x 于点E 若 2 12 2 b kk a 证明 E为CD的中点 3 设点P在椭圆 内且不在x轴上 如何构作过PQ中点F的直线l 使得l与椭圆 的 两个交点 1 P 2 P满足 12 PPPPPQ 12 PPPPPQ 令10a 5b 点P的坐标是 8 1 若椭圆 上的点 1 P 2 P满足 12 PPPPPQ 求点 1 P 2 P的坐标 解析 1 22 ab M 2 由方程组 1 22 22 1 yk xp xy ab 消y得方程 22222222 11 2 0a kbxa k pxapb 因为直线 11 lyk xp 交椭圆 于C D两点 所以 0 即 2222 1 0a kbp 设C x1 y1 D x2 y2 CD中点坐标为 x0 y0 则 2 121 0 222 1 2 010 222 1 2 xxa k p x a kb b p yk xp a kb 由方程组 1 2 yk xp yk x 消y得方程 k2 k1 x p 2 又因为 2 2 2 1 b k a k 所以 2 1 0 222 211 2 20 222 1 a k pp xx kka kb b p yk xy a kb 故E为CD的中点 3 因为点P在椭圆 内且不在x轴上 所以点F在椭圆 内 可以求得直线OF的斜率 k2 由 12 PPPPPQ 知F为P1P2的中点 根据 2 可得直线l的斜率 2 1 2 2 b k a k 从而得直 线l的方程 1 1 2 F 直线OF的斜率 2 1 2 k 直线l的斜率 2 1 2 2 1 2 b k a k 解方程组 22 1 1 2 1 10025 yx xy 消y x2 2x 48 0 解得P1 6 4 P2 8 3 2 2 20102010 湖南文 湖南文 19 本小题满分 13 分 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A B 两点各建一个考察基 地 视冰川面为平面形 以过 A B 两点的直线为 x 轴 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平 面直角坐标系 图 4 考察范围到 A B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域 I 求考察区域边界曲线的方程 II 如图 4 所示 设线段 12 PP 是冰川的部分边界线 不考虑其他边界 当冰川融化 时 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以后每 年移动的距离为前一年的 2 倍 问 经过多长时间 点 A 恰好在冰川边界线上 3 3 3 20102010 浙江理 浙江理 21 本题满分 15 分 已知m 1 直线 2 0 2 m l xmy 椭圆 2 2 2 1 x Cy m 1 2 F F分别为椭圆C的左 右焦点 当直线l过右焦点 2 F时 求直线l的方程 设直线l与椭圆C交于 A B两点 12 AFFV 12 BFFV的重心分别为 G H 若原点O在以线段GH为直径的圆 内 求实数m的取值范围 解析 本题主要考察椭圆的几何性质 直线与椭圆 点与圆的位置关系等基础知识 同时考 察解析几何的基本思想方法和综合解题能力 解 因为直线 l 2 0 2 m xmy 经过 2 2 1 0 Fm 所以 2 2 1 2 m m 得 2 2m 4 又因为1m 所以2m 故直线l的方程为 2 2 20 2 xy 解 设 1122 A x yB xy 由 2 2 2 2 2 1 m xmy x y m 消去x得 2 2 210 4 m ymy 则由 2 22 8 1 80 4 m mm 知 2 8m 且有 2 1212 1 282 mm yyy y A 由于 12 0 0 FcF c 故O为 12 FF的中点 由2 2AGGO BHHO 可知 1121 3333 xyxy Gh 22 2 1212 99 xxyy GH 设M是GH的中点 则 1212 66 xxyy M 由题意可知2 MOGH 即 22 22 12121212 4 6699 xxyyxxyy 即 1212 0 x xy y 而 22 12121212 22 mm x xy ymymyy y 5 2 2 1 1 82 m m 所以 2 1 0 82 m 即 2 4m 又因为1m 且0 所以12m 所以m的取值范围是 1 2 4 4 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 21 本小题满分 12 分 己知斜率为 1 的直线l与双曲线C 22 22 100 xy ab ab 相交于B D两点 且BD 的中点为 1 3M 求C的离心率 设C的右顶点为A 右焦点为F 17DF BF A 证明 过A B D三点的圆与 x轴相切 命题意图 本题主要考查双曲线的方程及性质 考查直线与圆的关系 既考查考生的基础 知识掌握情况 又可以考查综合推理的能力 参考答案 6 7 点评 高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目 命题者将好多考点以圆锥曲线为 背景来考查 如向量问题 三角形问题 函数问题等等 试题的难度相对比较稳定 5 5 20102010 陕西文 陕西文 20 本小题满分 13 分 求椭圆 C 的方程 设 n 为过原点的直线 l 是与 n 垂直相交与点 P 与椭圆相交 于 A B 两点的直线 立 若存在 求出直线 l 的方程 并说出 若不存在 请说明理由 8 6 6 20102010 辽宁文 辽宁文 20 本小题满分 12 分 设 1 F 2 F分别为椭圆 22 22 1 xy C ab 0 ab 的左 右焦点 过 2 F的直线l与椭圆C 相交于A B两点 直线l的倾斜角为60 1 F到直线l的距离为2 3 求椭圆C的焦距 如果 22 2AFF B 求椭圆C的方程 解 设焦距为2c 由已知可得 1 F到直线l的距离32 3 2 cc 故 所以椭圆C的焦距为 4 设 112212 0 0 A x yB xyyy 由题意知直线l的方程为3 2 yx 联立 22224 22 22 3 2 3 4 330 1 yx abyb yb xy ab 得 9 解得 22 12 2222 3 22 3 22 33 baba yy abab 因为 2212 2 2 AFF Byy 所以 即 22 2222 3 22 3 22 2 33 baba abab 得 22 3 4 5 aabb 而所以 故椭圆C的方程为 22 1 95 xy 7 7 20102010 辽宁理 辽宁理 20 本小题满分 12 分 设椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为 F 过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A B 两 点 直线 l 的倾斜角为 60o 2AFFB I 求椭圆 C 的离心率 II 如果 AB 15 4 求椭圆 C 的方程 解 设 1122 A x yB xy 由题意知 1 y 0 2 y 0 直线 l 的方程为 3 yxc 其中 22 cab 联立 22 22 3 1 yxc xy ab 得 22224 3 2 330abyb cyb 解得 22 12 2222 3 2 3 2 33 b cab ca yy abab 因为2AFFB 所以 12 2yy 即 22 2222 3 2 3 2 2 33 b cab ca abab 得离心率 2 3 c e a 6 分 10 因为 21 1 1 3 AByy 所以 2 22 24 315 343 ab ab 由 2 3 c a 得 5 3 ba 所以 515 44 a 得 a 3 5b 椭圆 C 的方程为 22 1 95 xy 12 分 8 8 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 22 本小题满分 12 分 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C 22 22 1 0 0 xy ab ab 相交于 B D 两点 且 BD 的中 点为 M 1 3 求 C 的离心率 设 C 的右顶点为 A 右焦点为 F DF BF 17 证明 过 A B D 三点的圆与 x 轴相切 解析解析 本题考查了圆锥曲线 直线与圆的知识 考查学生运用所学知识解决问题的能力 本题考查了圆锥曲线 直线与圆的知识 考查学生运用所学知识解决问题的能力 1 1 由直线过点 由直线过点 1 1 3 3 及斜率可得直线方程 直线与双曲线交于 及斜率可得直线方程 直线与双曲线交于 BDBD 两点的中点为两点的中点为 1 1 3 3 可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 A BA B 的关系式即求得离心率 的关系式即求得离心率 2 2 利用离心率将条件 利用离心率将条件 FA FB 17 FA FB 17 用含 用含 A A 的代数式表示 即可求得的代数式表示 即可求得 A A 则 则 A A 点坐标可得点坐标可得 1 1 0 0 由于 由于 A A 在在 X X 轴上所以 只要证明轴上所以 只要证明 2AM BD2AM BD 即证得 即证得 20102010 江西理数 江西理数 21 本小题满分 12 分 设椭圆 22 1 22 1 0 xy Cab ab 抛物线 22 2 Cxbyb 1 若 2 C经过 1 C的两个焦点 求 1 C的离心率 2 设 A 0 b 5 3 3 4 Q 又 M N 为 1 C与 2 C不在 y 轴上的两个交点 若 AMN 的 垂心为 3 4 Bb 0 且 QMN 的重心在 2 C上 求椭圆 1 C和抛物线 2 C的方程 解析 考查椭圆和抛物线的定义 基本量 通过交点三角形来确认方程 11 1 由已知椭圆焦点 c 0 在抛物线上 可得 22 cb 由 2 2222 2 12 2 22 c abcce a 有 2 由题设可知 M N 关于 y 轴对称 设 11111 0 Mx yN x yx 由AMN 的垂心为 B 有 2 111 3 0 0 4 BM ANxyb yb 由点 11 N x y在抛物线上 22 11 xbyb 解得 11 4 b yyb 或舍去 故 1 555 22424 bb xb MbNb 得QMN 重心坐标 3 4 b 由重心在抛物线上得 2 2 3 2 4 b bb 所以 11 5 5 22 MN 又因为 M N 在椭圆上得 2 16 3 a 椭圆方程为 22 16 3 1 4 xy 抛物线方程为 2 24xy 9 9 20102010 安徽文数 安徽文数 17 本小题满分 12 分 椭圆E经过点 2 3A 对称轴为坐标轴 焦点 12 F F在x轴上 离心率 1 2 e 求椭圆E的方程 求 12 F AF 的角平分线所在直线的方程 命题意图 本题考查椭圆的定义及标准方程 椭圆的简单几 何性质 直线的点斜式方程与一般方程 点到直线的距离公式 等基础知识 考查解析几何的基本思想 综合运算能力 解题指导 1 设椭圆方程为 22 22 1 xy ab 把点 2 3A代入椭圆方程 把离心率 1 2 e 用 a c表示 再根据 222 abc 求出 22 a b 得椭圆方程 2 可以设直线l上任 一点坐标为 x y 根据角平分线上的点到角两边距离相等得 346 2 5 xy x 解 设椭圆 E 的方程为 12 22 22 22 2222 22 22 22 121 212 1 11 3 1 2243 13 1 2 1 1612 3 2 0 2 0 2 4 3460 2 xy ab cxy ebacc acc AcE cc xy FAFx xyAFxEAF 由得 将 2 3 代入 有解得 椭圆的方程为 由 知F所以直线的方程为y 即直线的方程为由椭圆的图形知 F的角平分线所在直线的斜率为正 12 12 346 2 5 346510 280 xy AFx xyxxy AF 数 设P x y 为F的角平分线所在直线上任一点 则有 若得其斜率为负 不合题意 舍去 于是3x 4y 6 5x 10 即2x y 1 0 所以 F的角平分线所在直线的方程为2x y 1 0 规律总结 对于椭圆解答题 一般都是设椭圆方程为 22 22 1 xy ab 根据题目满足的条件求 出 22 a b 得椭圆方程 这一问通常比较简单 2 对于角平分线问题 利用角平分线的几 何意义 即角平分线上的点到角两边距离相等得方程 10 10 20102010 重庆文数 重庆文数 21 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 已知以原点O为中心 5 0 F为右焦点的双曲线C的离心率 5 2 e 求双曲线C的标准方程及其渐近线方程 如题 21 图 已知过点 11 M x y的直线 1 l 11 44x xy y 与过点 22 N xy 其中 21 xx 的直线 2 l 22 44x xy y 的交点E在双曲线C上 直线MN与 双曲线的两条渐近线分别交于G H两点 求OG OH A的值 14 15 11 11 20102010 浙江文 浙江文 22 本题满分 15 分 已知 m 是非零实数 抛物线 2 2Cyps p 0 的焦点 F 在直线 2 0 2 m l xmy 上 I 若 m 2 求抛物线 C 的方程 II 设直线l与抛物线 C 交于 A B A 2 A F 1 BB F的重心分别为 G H 求证 对任意非零实数 m 抛物线 C 的准线与 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外 16 12 12 20102010 重庆理 重庆理 20 本小题满分 12 分 I 小问 5 分 II 小问 7 分 已知以原点 O 为中心 5 0F为右焦点的 双曲线 C 的离心率 5 2 e 17 I 求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程 II 如题 20 图 已知过点 11 M x y的直线 111 44lx xy y 与过点 22 N xy 其中 2 xx 的直线 222 44lx xy y 的交点 E 在双曲线 C 上 直 线 MN 与两条渐近线分别交与 G H 两点 求OGH 的面积 18 13 13 20102010 北京文 北京文 19 本小题共 14 分 已知椭圆 C 的左 右焦点坐标分别是 2 0 2 0 离心率是 6 3 直线 y t 椭圆 C 交与不同的两点 M N 以线段为直径作圆 P 圆心为 P 求椭圆 C 的方程 若圆 P 与 x 轴相切 求圆心 P 的坐标 设 Q x y 是圆 P 上的动点 当 t 变化时 求 y 的最大值 解 因为 6 3 c a 且2c 所以 22 3 1abac 所以椭圆 C 的方程为 2 2 1 3 x y 由题意知 0 11 ptt 由 2 2 1 3 yt x y 得 2 3 1 xt 所以圆 P 的半径为 2 3 1 t 19 解得 3 2 t 所以点 P 的坐标是 0 3 2 由 知 圆 P 的方程 222 3 1 xytt 因为点 Q x y在圆 P 上 所以 222 3 1 3 1 yttxtt 设cos 0 t 则 2 3 1 cos3sin2sin 6 tt 当 3 即 1 2 t 且0 x y取最大值 2 14 14 20102010 北京理北京理 19 本小题共 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 B 与点 A 1 1 关于原点 O 对称 P 是动点 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 1 3 求动点 P 的轨迹方程 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x 3 交于点 M N 问 是否存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面 积相等 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 I 解 因为点 B 与 A 1 1 关于原点O对称 所以点B得坐标为 1 1 设点P的坐标为 x y 由题意得 111 113 yy xx A 化简得 22 34 1 xyx 故动点P的轨迹方程为 22 34 1 xyx II 解法一 设点P的坐标为 00 xy 点M N得坐标分别为 3 M y 3 N y 则直线AP的方程为 0 0 1 1 1 1 y yx x 直线BP的方程为 0 0 1 1 1 1 y yx x 令3x 得 00 0 43 1 M yx y x 00 0 23 1 N yx y x 于是PMNA得面积 2 000 0 2 0 3 1 3 2 1 PMNMN xyx Syyx x A 20 又直线AB的方程为0 xy 2 2AB 点P到直线AB的距离 00 2 xy d 于是PABA的面积 00 1 2 PAB SAB dxy A A 当 PABPMN SS AA 时 得 2 000 00 2 0 3 1 xyx xy x 又 00 0 xy 所以 2 0 3 x 2 0 1 x 解得 0 5 3 x 因为 22 00 34xy 所以 0 33 9 y 故存在点P使得PABA与PMNA的面积相等 此时点P的坐标为 533 39 解法二 若存在点P使得PABA与PMNA的面积相等 设点P的坐标为 00 xy 则 11 sin sin 22 PAPBAPBPMPNMPN AA 因为sinsinAPBMPN 所以 PAPN PMPB 所以 00 0 1 3 3 1 xx xx 即 22 00 3 1 xx 解得 0 x 5 3 因为 22 00 34xy 所以 0 33 9 y 故存在点PS 使得PABA与PMNA的面积相等 此时点P的坐标为 533 39 21 15 15 20102010 四川理 四川理 20 本小题满分 12 分 已知定点A 1 0 F 2 0 定直线l x 1 2 不在x轴上的动点P与点F的距离是它到 直线l的距离的 2 倍 设点P的轨迹为E 过点F的直线交E于B C两点 直线AB AC分别 交l于点M N 求E的方程 试判断以线段MN为直径的圆是否过点F 并说明理由 本小题主要考察直线 轨迹方程 双曲线等基础知识 考察平面机袭击和的思想方法及推理 运算能力 解 1 设P x y 则 22 1 2 2 2 xyx 化简得x2 2 3 y 1 y 0 4 分 2 当直线BC与x轴不垂直时 设BC的方程为y k x 2 k 0 与双曲线x2 2 3 y 1 联立消去y得 3 k 2x2 4k2x 4k2 3 0 由题意知 3 k2 0 且 0 设B x1 y1 C x2 y2 则 2 12 2 2 12 2 4 3 43 3 k xx k k x x k y1y2 k2 x1 2 x2 2 k2 x1x2 2 x1 x2 4 k2 22 22 438 33 kk kk 4 2 2 9 3 k k 因为x1 x2 1 所以直线AB的方程为y 1 1 1 y x x 1 22 因此M点的坐标为 1 1 31 2 2 1 y x 1 1 33 2 2 1 y FM x 同理可得 2 2 33 2 2 1 y FN x 因此 2 12 12 93 22 1 1 y y FM FN xx A 2 2 22 22 81 4 3 4349 4 1 33 k k kk kk 0 当直线BC与x轴垂直时 起方程为x 2 则B 2 3 C 2 3 AB的方程为y x 1 因此M点的坐标为 1 3 2 2 3 3 2 2 FM 同理可得 33 22 FN 因此 2 333 222 FM FN A 0 综上FM FN A 0 即FM FN 故以线段MN为直径的圆经过点F 12 分 16 16 20102010 天津文 天津文 21 本小题满分 14 分 已知椭圆 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率 e 3 2 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4 求椭圆的方程 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点 A 的坐标为 a 0 i 若 4 2 AB 5 求直线 l 的倾斜角 ii 若点 Qy0 0 在线段 AB 的垂直平分线上 且QA QB 4 A 求y0的值 解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 两点间的距离公式 23 直线的倾斜角 平面向量等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合 的思想 考查综合分析与运算能力 满分 14 分 解 由 e 3 2 c a 得 22 34ac 再由 222 cab 解得 a 2b 由题意可知 1 224 2 ab 即 ab 2 解方程组 2 2 ab ab 得 a 2 b 1 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y i 解 由 可知点 A 的坐标是 2 0 设点 B 的坐标为 11 x y 直线 l 的斜率为 k 则直线 l 的方程为 y k x 2 于是 A B 两点的坐标满足方程组 2 2 2 1 4 yk x x y 消去 y 并整理 得 2222 14 16 164 0kxk xk 由 2 1 2 164 2 14 k x k 得 2 1 2 28 14 k x k 从而 1 2 4 14 k y k 所以 2 2 22 222 2844 1 2 141414 kkk AB kkk 由 4 2 5 AB 得 2 2 4 14 2 145 k k 整理得 42 329230kk 即 22 1 3223 0kk 解得 k 1 所以直线 l 的倾斜角为 4 或 3 4 ii 解 设线段 AB 的中点为 M 由 i 得到 M 的坐标为 2 22 82 1414 kk kk 以下分两种情况 1 当 k 0 时 点 B 的坐标是 2 0 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 于是 00 2 2 QAyQBy 由4QA QB 得y2 2 0 24 2 当0k 时 线段 AB 的垂直平分线方程为 2 22 218 1414 kk yx kkk 令0 x 解得 0 2 6 14 k y k 由 0 2 QAy 110 QBx yy 2 1010 2222 2 28 646 2 14141414 k kkk QA QBxyyy kkkk 42 2 2 4 16151 4 14 kk k 整理得 2 72k 故 14 7 k 所以 0 2 14 5 y 综上 0 2 2y 或 0 2 14 5 y 17 17 20102010 天津理 天津理 20 本小题满分 12 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率 3 2 e 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 为 4 1 求椭圆的方程 2 设直线l与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点A的坐标为 0a 点 0 0 Qy在线段AB的垂直平分线上 且4QA QB A 求 0 y的值 解析 本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 平面向量等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想 考查运算和推理能力 满分 12 分 1 解 由 3 e 2 c a 得 22 34ac 再由 222 cab 得2ab 由题意可知 1 224 2 2 abab 即 解方程组 2 2 ab ab 得 a 2 b 1 25 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y 2 解 由 1 可知 A 2 0 设 B 点的坐标为 x1 y1 直线 l 的斜率为 k 则直线 l 的 方程为 y k x 2 于是 A B 两点的坐标满足方程组 2 2 2 1 4 yk x x y 由方程组消去 Y 并整理 得 2222 14 16 164 0kxk xk 由 2 1 2 164 2 14 k x k 得 2 11 22 284 1414 kk xy kk 从而 设线段 AB 是中点为 M 则 M 的坐标为 2 22 82 1414 kk kk 以下分两种情况 1 当 k 0 时 点 B 的坐标为 2 0 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 于是 000 2 y 2 2QAQByQA QBy A 由4 得 2 2 当 K0 时 线段 AB 的垂直平分线方程为 2 22 218 1414 kk Yx kkk 令 x 0 解得 0 2 6 14 k y k 由 0110 2 y QAQBx yy 2 1010 2222 2 28 646 2 14141414 kkkk QA QBxyyy kkkk A 42 22 4 16151 4 14 kk k 整理得 2 0 142 14 72 75 kky 故所以 26 综上 00 2 14 2 2 5 yy 或 18 18 20102010 广东理 广东理 21 本小题满分 14 分 设 A 11 x y B 22 xy 是平面直角坐标系 xOy 上的两点 先定义由点 A 到点 B 的一种折 线距离 p A B 为 2121 P A Bxxyy 当且仅当 1212 0 0 xxxxyyyy 时等号成立 即 A B C三点共线时等 号成立 2 当点 C x y 同时满足 P A C P C B P A B P A C P C B时 点 C是线段AB的中点 1212 22 xxyy xy 即存在点 1212 22 xxyy C 满足条件 19 19 20102010 广东理 广东理 20 本小题满分为 14 分 一条双曲线 2 2 1 2 x y 的左 右顶点分别为 A1 A2 点 11 P x y 11 Q xy 是双曲线上不 同的两个动点 1 求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式 2 若过点 H 0 h h 1 的两条直线 l1和 l2与轨迹 E 都只有一个交点 且 12 ll 27 求 h 的值 故 22 1 2 2 yx 即 2 2 1 2 x y 2 设 1 lykxh 则由 12 ll 知 2 1 lyxh k 将 1 lykxh 代入 2 2 1 2 x y 得 2 2 1 2 x kxh 即 222 12 4220kxkhxh 由 1 l与 E 只有一个交点知 2222 164 12 22 0k hkh 即 22 12kh 同理 由 2 l与 E 只有一个交点知 2 2 1 12h k 消去 2 h得 2 2 1 k k 即 2 1k 从而 22 123hk 即3h 20 20 20102010 广东文 广东文 21 本小题满分 14 分 已知曲线 2 nxyCn 点 nnn yxP 0 0 nn yx是曲线 n C上的点 2 1 n 28 29 21 21 20102010 福建文 福建文 19 本小题满分 12 分 已知抛物线 C 2 2 0 ypx p 过点 A 1 2 I 求抛物线 C 的方程 并求其准线方程 II 是否存在平行于 OA O 为坐标原点 的直线 L 使得直线 L 与抛物线 C 有公共点 且直线 OA 与 L 的距离等于 5 5 若存在 求直线 L 的方程 若不存在 说明理由 30 22 22 20102010 全国卷全国卷 1 1 理 理 21 本小题满分 12 分 已知抛物线 2 4C yx 的焦点为 F 过点 1 0 K 的直线l与C相交于A B两点 点 A 关于x轴的对称点为 D 证明 点 F 在直线 BD 上 设 8 9 FA FB A 求BDK 的内切圆 M 的方程 31 23 23 20102010 湖北文 湖北文 20 本小题满分 13 分 已知一条曲线 C 在 y 轴右边 C 上没一点到点 F 1 0 的距离减去它到 y 轴距离的差都 是 1 求曲线 C 的方程 是否存在正数 m 对于过点 M m 0 且与曲线 C 有两个交点 A B 的任一直线 都有FA FB 0 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 32 24 24 20102010 山东理 山东理 21 本小题满分 12 分 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 2 2 以该椭圆上的点和椭圆的左 右焦 点 12 F F为顶点的三角形的周长为4 21 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点 设P为 该双曲线上异于顶点的任一点 直线 1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为BA 和CD 求椭圆和双曲线的标准方程 设直线 1 PF 2 PF的斜率分别为 1 k 2 k 证明 12 1k k 33 是否存在常数 使得 ABCDAB CD 恒成立 若存在 求 的值 若不 存在 请说明理由 解析 由题意知 椭圆离心率为 c a 2 2 得2ac 又22ac 4 21 所以可解得2 2a 2c 所以 222 4bac 所以椭圆的标准方程为 22 1 84 xy 所以椭圆的焦点坐标为 2 0 因为双曲线为等轴双曲线 且顶点是该椭圆的焦点 所 以该双曲线的标准方程为 22 1 44 xy 34 命题意图 本题考查了椭圆的定义 离心率 椭圆与双曲线的标准方程 直线与圆锥曲线 的位置关系 是一道综合性的试题 考查了学生综合运用知识解决问题的能力 其中问题 3 是一个开放性问题 考查了同学们观察 推理以及创造性地分析问题 解决问题的能 力 25 25 20102010 湖南理 湖南理 19 本小题满分 13 分 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A B 两点各建一个考察基地 视冰川面为平面形 以过 A B 两点的直线为 x 轴 线段 AB 的的垂直平分线为 y 轴建立平面 35 直角坐标系 图 6 在直线 x 2 的右侧 考察范围为到点 B 的距离不超过 6 5 5 km 区域 在直 线 x 2 的左侧 考察范围为到 A B 两点的距离之和不超过4 5km 区域 求考察区域边界曲线的方程 如图 6 所示 设线段 P1P2 P2P3 是冰川的部分边界线 不考虑其他边界线 当冰川 融化时 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以后每年移动的 距离为前一年的 2 倍 求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间 化 融 区域 2 8 3 P 6 3 P3 8 6 已冰 B 4 0 A 4 0 x 1 P15 3 36 37 26 26 20102010 湖北理 湖北理 19 本小题满分 12 分 已知一条曲线 C 在 y 轴右边 C 上每一点到点 F 1 0 的距离减去它到 y 轴距离的差都 是 1 求曲线