九年级数学下册 第三章圆 2 圆的对称性第1课时习题课件 北师大版VIP

2圆的对称性第1课时 1 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理 重点 2 1 和圆有关的相关概念的辨析理解 2 垂径定理及其逆定理的应用 重点 难点 1 圆的轴对称性圆是轴对称图形 其对称轴是 2 和圆相关的概念 1 弦和直径 弦是连接圆上任意两点间的 直径是经过 的弦 2 弧 任意两点间的部分叫做圆弧 简称 3 等圆和等弧 相等的圆叫等圆 在 中 能够完全 的弧叫做等弧 任意一条过圆心的直线 线段 圆心 圆上 弧 半径 同圆或等圆 重合 3 垂径定理及其推论如图 cd为 o的直径 ab为弦 思考1 1 当cd ab 垂足为e时 将圆沿直线cd对折 点a与点b重合吗 你会发现哪些相等的线段和相等的弧 提示 重合 2 你能证明ae be吗 提示 连接oa ob 则oa ob cd ab oae和 obe都是直角三角形 又 oe为公共边 两个直角三角形全等 则ae be 3 当ae be时 将圆沿直线cd对折 相等吗 提示 连接oa ob 则oe为等腰 aob底边上的中线 cd ab 对折后点a与点b重合 4 上述证明是在 aob存在即ab为非直径的弦的条件下得到的结论 那么当ab为直径时是否成立呢 你能画出图形吗 提示 成立 如图所示 总结 垂径定理 垂直于弦的直径 并且 弦所对的弧 平分弦 平分 思考2 1 ab是 o的弦 不是直径 作一条平分ab的直径cd 交ab于点e 那么cd会垂直于ab吗 还会平分弦所对的两条弧吗 提示 连接oa ob 则oa ob aob为等腰三角形 直径cd平分ab 底边ab上的中线oe所在的直线cd ab cd为直径 2 当弦ab为直径时 作一条平分ab的直径cd 那么cd还垂直于ab吗 还平分弦所对的两条弧吗 请画图说明 提示 不一定 如图 cd平分ab 但是cd不垂直于ab 不平分弦所对的两条弧 总结 垂径定理的推论 平分弦 不是直径 的直径 于弦 并且 弦所对的弧 垂直 平分 打 或 1 任意一条直径都是圆的对称轴 2 半径是一个圆中最短的弦 3 平分弦的直径垂直于弦 并且平分弦所对的弧 4 等弧一定出现在等圆或同圆中 知识点1垂径定理 例1 如图 o的半径为2 弦点c在弦ab上 则oc的长为 思路点拨 作od ab于点d 构造两个直角三角形 应用勾股定理和垂径定理 求出oc的长度 自主解答 选d 如图 作od ab于点d 则由勾股定理 得 总结提升 垂径定理运用中的 两注意 1 两条辅助线 一是过圆心作弦的垂线 二是连接圆心和弦的一端 即半径 这样把半径 圆心到弦的距离 弦的一半构建在一个直角三角形中 运用勾股定理求解 2 方程的思想 在直接运用垂径定理求线段的长度时 常常将未知的一条线段设为x 利用勾股定理构造关于x的方程解决问题 这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路 知识点2垂径定理的应用 例2 如图是一个隧道的横截面 若它的形状是以o为圆心的圆的一部分 路面ab 10米 净高cd 7米 则此圆的半径oa是多少米 解题探究 1 根据题意及图示 你能用数学符号语言表述垂径定理吗 假设ce为 o的直径 提示 ce为 o的直径 ce ab 2 如何根据垂径定理求ad的长 提示 在 o中 ab 10米 od ab 3 设 o的半径oa为x米 请用代数式表示线段od的长 提示 od可表示为 7 x 米 4 应用垂径定理计算的关键是寻找以弦的一半 半径和弦到圆心的垂线段为边的直角三角形 利用勾股定理列方程求解 请你找出此直角三角形 并求解 提示 此直角三角形是rt aod 在rt aod中 oa2 od2 ad2 即x2 7 x 2 52 解得 总结提升 垂径定理基本图形的四变量 两关系1 四变量 如图 弦长a 圆心到弦的距离d 半径r 弧的中点到弦的距离 弓形高 h 这四个变量知任意两个可求其他两个 2 两关系 题组一 垂径定理1 2013 广安中考 如图 已知半径od与弦ab互相垂直 垂足为点c 若ab 8cm cd 3cm 则圆o的半径为 解析 选a 连接ao 设圆o的半径是rcm 则ao rcm co r 3 cm 由垂径定理得在rt aoc中 由勾股定理得42 r 3 2 r2 解得 2 2013 潍坊中考 如图 o的直径ab 12 cd是 o的弦 cd ab 垂足为p 且bp ap 1 5 则cd的长为 解析 选d 连接oc op 4 ap cd cp dp 在rt ocp中 3 如图 ab为 o的直径 弦cd ab于e 已知cd 12 be 2 则 o的直径为 a 8b 10c 16d 20 解析 选d 连接oc 设oc的长为r cd 12 由垂径定理可得ce 6 oec是直角三角形 be 2 oe r 2 由勾股定理可得oc2 oe2 ce2 即r2 r 2 2 62 解得r 10 o的直径为10 2 20 4 如图 在半径为10的 o中 如果弦心距oc 6 那么弦ab的长等于 解析 连接oa 在rt oac中 oa 10 oc 6 根据勾股定理得到因而ab 2ac 16 弦ab的长等于16 答案 16 5 如图 在 o中 ab为 o的弦 c d是直线ab上的两点 且ac bd 求证 ocd是等腰三角形 证明 过o点作om ab 垂足为m om ab am bm ac bd cm dm 又 om ab oc od ocd是等腰三角形 6 已知 如图 pac 30 在射线ac上顺次截取ad 3cm db 10cm 以db为直径作 o交射线ap于e f两点 求圆心o到ap的距离及ef的长 解析 过点o作og ap于点g 连接of db 10cm od 5cm ao ad od 3 5 8 cm pac 30 og ef eg gf ef 2gf 6 cm 圆心o到ap的距离为4cm ef的长为6cm 解题技巧 解决有关弦的问题 常常需要作辅助线 弦心距和半径 把垂径定理和勾股定理结合起来 题组二 垂径定理的应用1 如图 将半径为2cm的圆形纸片折叠后 圆弧恰好经过圆心o 则折痕ab的长为 解析 选c 作od ab于d 连接oa 根据题意得再根据勾股定理得 ad cm 根据垂径定理得 2 2013 丽水中考 一条排水管的截面如图所示 已知排水管的半径ob 10 水面宽ab 16 则截面圆心o到水面的距离oc是 a 4b 5c 6d 8 解析 选c 由垂径定理知oc垂直平分ab 故bc 8 由勾股定理得oc 6 3 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口 假设钢珠的直径是10mm 测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm 如图所示 则这个小圆孔的宽口ab的长度为 mm 解析 设圆心为o 过点o作od ab于点d 根据题意知 oa 5mm od 8 5 3 mm 根据勾股定理 得 则ab 2ad 8mm 答案 8 4 如图 以点p为圆心的圆弧与x轴交于a b两点 点p的坐标为 4 2 点a的坐标为 2 0 则点b的坐标为 解析 如图 过点p作pc x轴于c 则oc 4 又oa 2 所以ac 2 根据垂径定理可得bc ac 2 因此 点b的坐标为 6 0 答案 6 0 5 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后 截面如图 如果油的最大深度为16cm 那么油面宽度ab为 cm 解析 作oc ab 交 o于d 连接oa 依题意oc 26 16 10 cm ac2 262 102 242 ac 24 cm 由垂径定理知ab 48cm 因此油面宽ab为48cm 答案 48 6 如图 我国新建一座石拱桥 桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦长 为40m 拱高 弧的中点到弦的距离 为8m 求桥拱的半径r 解析 经过圆心o作弦ab的垂线