高中数学 1.1.3分类计数原理与分步计数原理（三）课件 新人教版选修23.ppt

一 复习回顾 两个计数原理的内容是什么 解决两个计数原理问题需要注意什么问题 有哪些技巧 练习 三个比赛项目 六人报名参加 每人参加一项有多少种不同的方法 每项 人 且每人至多参加一项 有多少种不同的方法 每项 人 每人参加的项数不限 有多少种不同的方法 例1用0 1 2 3 4 5这六个数字 1 可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数 2 可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数 3 可以组成多少个大于3000 小于5421且各位数字不允许重复的四位数 升华发展 一 排数字问题 1 将数字1 2 3 4 填入标号为1 2 3 4的四个方格里 每格填一个数字 则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有 种 引申 号方格里可填 三个数字 有 种填法 号方格填好后 再填与 号方格内数字相同的号的方格 又有 种填法 其余两个方格只有 种填法 所以共有3 3 1 9种不同的方法 二 映射个数问题 例2设a a b c d e f b x y z 从a到b共有多少种不同的映射 三 染色问题 例3有n种不同颜色为下列两块广告牌着色 要求在 四个区域中相邻 有公共边界 区域中不用同一种颜色 1 若n 6 为 1 着色时共有多少种方法 2 若为 2 着色时共有120种不同方法 求n 1 2 如图 要给地图a b c d四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 解 按地图a b c d四个区域依次分四步完成 第一步 m1 3种 第二步 m2 2种 第三步 m3 1种 第四步 m4 1种 所以根据乘法原理 得到不同的涂色方案种数共有n 3 2 1 1 6种 如图 要给地图a b c d四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 若用2色 4色 5色等 结果又怎样呢 答 它们的涂色方案种数分别是0 4 3 2 2 48 5 4 3 3 180种等 思考 分析 如图 a b c三个区域两两相邻 a与d不相邻 因此a b c三个区域的颜色两两不同 a d两个区域可以同色 也可以不同色 但d与b c不同色 由此可见我们需根据a与d同色与不同色分成两大类 解 先分成两类 第一类 d与a不同色 可分成四步完成 第一步涂a有5种方法 第二步涂b有4种方法 第三步涂c有3种方法 第四步涂d有2种方法 根据分步计数原理 共有5 4 3 2 120种方法 根据分类计数原理 共有120 60 180种方法 第二类 a d同色 分三步完成 第一步涂a和d有5种方法 第二步涂b有4种方法 第三步涂c有3种方法 根据分步计数原理 共有5 4 3 60种方法 某城市在中心广场建造一个花圃 花圃分为6个部分 如右图 现要栽种4种不同颜色的花 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花 不同的栽种方法有 种 以数字作答 1 与 同色 则 也同色或 也同色 所以共有n1 4 3 2 2 1 48种 所以 共有n n1 n2 n3 48 48 24 120种 2 与 同色 则 或 同色 所以共有n2 4 3 2 2 1 48种 3 与 且 与 同色 则共n3 4 3 2 1 24种 解法一 从题意来看6部分种4种颜色的花 又从图形看知必有2组同颜色的花 从同颜色的花入手分类求 6 将 种作物种植在如图所示的 块试验田里 每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物 不同的种植方法共有种 以数字作答 42 5 如图 是5个相同的正方形 用红 黄 蓝 白 黑5种颜色涂这些正方形 使每个正方形涂一种颜色 且相邻的正方形涂不同的颜色 如果颜色可反复使用 那么共有多少种涂色方法 四 子集问题 规律 n元集合的不同子集有个 例 集合a a b c d e 它的子集个数为 真子集个数为 非空子集个数为 非空真子集个数为 五 综合问题 例4若直线方程ax by 0中的a b可以从0 1 2 3 4这五个数字中任取两个不同的数字 则方程所表示的不同的直线共有多少条 75600有多少个正约数 有多少个奇约数 解 由于75600 24 33 52 7 75600的每个约数都可以写成的形式 其中 于是 要确定75600的一个约数 可分四步完成 即i j k l分别在各自的范围内任取一个值 这样i有5种取法 j有4种取法 k有3种取法 l有2种取法 根据分步计数原理得约数的个数为5 4 3 2 120个 解 从总体上看 如 蚂蚁从顶点a爬到顶点c1有三类方法 从局部上看每类又需两步完成 所以 第一类 m1 1 2 2条第二类 m2 1 2 2条第三类 m3 1 2 2条所以 根据加法原理 从顶点a到顶点c1最近路线共有n 2 2 2 6条 3 一蚂蚁沿着长方体的棱 从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条 4 如果把两条异面直线看成 一对 那么六棱锥的棱所在的12条直线中 异面直线共有 对a 12b 24c 36d 48 b 5 如图 从甲地到乙地有2条路可通 从乙地到丙地有3条路可通 从甲地到丁地有4条路可通 从丁地到丙地有2条路可通 从甲地到丙地共有多少种不同的走法 甲地 乙地 丙地 丁地