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文档简介
立体几何中向量法 二 一 复习引入 用空间向量解决立体几何问题的 三步曲 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 把立体几何问题转化为向量问题 化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 直线 平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题 进行向量运算 3 把向量的运算结果 翻译 成相应的几何意义 回到图形 二 空间 距离 问题 1 空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算 利用公式或 其中 可将两点距离问题转化为求向量模长问题 例1 如图1 一个结晶体的形状为四棱柱 其中 以顶点a为端点的三条棱长都相等 且它们彼此的夹角都是60 那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系 解 如图1 设 化为向量问题 依据向量的加法法则 进行向量运算 所以 回到图形问题 这个晶体的对角线的长是棱长的倍 思考 1 本题中四棱柱的对角线bd1的长与棱长有什么关系 分析 2 如果一个四棱柱的各条棱长都相等 并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 那么由这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗 分析 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长 3 本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少 设ab 1 提示 求两个平行平面的距离 通常归结为求两点间的距离 分析 面面距离 点面距离 解 所求的距离是 问题 如何求直线a1b1到平面abcd的距离 h 2 向量法求点到平面的距离 c g d e f a b g c b a e d f 解 如图 以d为原点建立空间直角坐标系d xyz则d 0 0 0 a 0 0 b 0 c 0 0 p 0 0 或 当e f在公垂线同一侧时取负号当d等于0是即为 余弦定理 3 异面直线间的距离 cd为a b的公垂线 a b分别在直线a b上 则 b c d a b a 取x 1 则y 1 z 1 所以 a1 b1 c1 a e b c 三 小结 1 e为平面 外一点 f为 内任意一点 为平面 的法向量 则点e到平面的距离为 2 a b是异面直线 e f分别是直线a b上的点 是
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