2019高考数学二轮复习专题二立体几何微点深化立体几何中的轨迹与折叠问题课件

微点深化立体几何中的轨迹与折叠问题 1 运动变化中的轨迹问题的实质是寻求运动变化过程中的所有情况 发现动点的运动规律 2 将平面图形沿其中一条或几条线段折起 使其成为空间图形 这类问题称为立体几何中的折叠问题 折叠问题常与空间中的平行 垂直以及空间角相结合命题 考查学生的空间想象力和分析问题的能力 热点一以立体图形为载体的轨迹问题 例1 1 已知在平行六面体abcd a1b1c1d1中 aa1与平面a1b1c1d1垂直 且ad ab e为cc1的中点 p在对角面bb1d1d所在平面内运动 若ep与ac成30 角 则点p的轨迹为 a 圆b 抛物线c 双曲线d 椭圆 2 2018 宁波期中 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 点p是平面ac内的动点 若点p到直线a1d1的距离等于点p到直线cd的距离 则动点p的轨迹所在的曲线是 a 抛物线b 双曲线c 椭圆d 直线 解析 1 因为在平行六面体abcd a1b1c1d1中 aa1与平面a1b1c1d1垂直 且ad ab 所以该平面六面体abcd a1b1c1d1是一个底面为菱形的直四棱柱 所以对角面bb1d1d 底面abcd ac 对角面bb1d1d 取aa1的中点f 则ef ac 因为ep与ac成30 角 所以ep与ef成30 角 设ef与对角面bb1d1d的交点为o 则eo 对角面bb1d1d 所以点p的轨迹是以eo为轴的一个圆锥的底面 故选a 答案 1 a 2 b 探究提高研究立体几何中点的轨迹问题一般先将问题平面化 将问题转化为两平面或曲线的交线 或者直接用平面解析几何知识如圆锥曲线的定义或建系去处理 2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 p是侧面bb1c1c内一动点 若p到直线bc与直线c1d1的距离相等 则动点p的轨迹所在的曲线是 a 直线b 圆c 双曲线d 抛物线 解析点p到直线c1d1的距离即为点p到点c1的距离 所以在平面bb1c1c中 点p到定点c1的距离与到定直线bc的距离相等 由抛物线的定义可知 动点p的轨迹所在的曲线是抛物线 故选d 答案d 3 如图 定点a和b都在平面 内 定点p pb c是 内异于a和b的动点 且pc ac 那么 动点c在平面 内的轨迹是 a 一条线段 但要去掉两个点b 一个圆 但要去掉两个点c 一个椭圆 但要去掉两个点d 半圆 但要去掉两个点 解析由pb 可得pb ac 又pc ac 所以ac 平面pbc 则可得ac bc 由于定点a和b都在平面 内 动点c满足ac bc的轨迹是在平面 内以ab为直径的圆 而c是 内异于a和b的动点 所以动点c在平面 内的轨迹是在平面 内以ab为直径的圆 去掉两个a b 故选b 热点二立体几何中的折叠问题 例2 1 2018 浙江名校协作体联考 已知矩形abcd ab 1 bc 将 abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻折 在翻折过程中 a 存在某个位置 使得直线ac与直线bd垂直b 存在某个位置 使得直线ab与直线cd垂直c 存在某个位置 使得直线ad与直线bc垂直d 对任意位置 三对直线 ac与bd ab与cd ad与bc 均不垂直 求证 a c ef 求直线a d与平面ecdf所成角的大小 探究提高立体几何中的折叠问题 关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况 一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化 不在同一个平面上的性质发生变化 题组训练2 1 2018 诸暨调研 如图 在正方形abcd中 e f分别是bc cd的中点 沿ae af ef把正方形折成一个四面体 使b c d三点重合 重合后的点记为p p点在 aef内的射影为o 则下列说法正确的是 a o是 aef的垂心b o是 aef的内心c o是 aef的外心d o是 aef的重心 解析由题意可知pa pe pf两两垂直 所以pa 平面pef 从而pa ef 而po 平面aef 则po ef 因为po pa p 所以ef 平面pao ef ao 同理可知ae fo af eo o为 aef的垂心 答案a 2 2018 杭州一模 如图 abc是等腰直角三角形 ab ac bcd 90 且bc cd 3 将 abc沿bc的边翻折 设点a在平面bcd上的射影为点m 若点m在 bcd内部 含边界 则点m的轨迹的最大长度等于 在翻折过程中 当点m位于线段bd上时 直线ab和cd所成的角的余弦值等于 3 2018 浙江三市质检 如图 在等腰三角形abc中 ab ac a 120 m为线段bc的中点 d为线段bc上一点 且bd ba 沿直线ad将 adc翻折至 adc 使ac bd 证明 平面amc 平面abd 求直线c d与平面abd所成的角的正弦值 证明因为 abc为等腰三角形 m为bc的中点 所以am bd 又因为ac bd am ac a