安徽宣城高三数学第二次调研测试理

安徽省宣城市2019届高三数学第二次调研测试试题 理（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数满足，为虚数单位，则的共轭复数（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】由 ， 化简后可求共轭复数【详解】解：由 ，所以z的共轭复数为 ，选D.【点睛】该题考查复数代数形式的乘除运算，属基础题，熟练掌握相关运算法则是解题关键2.已知集合，若 ，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式简化集合A、B，由BA得等价不等式，从而可得实数a的取值范围【详解】解：3xa0， ，A ，log2（x2）1log22，0x22，2x4，B（2，4，BA，2，a6，实数a的取值范围是（，6故选：B【点睛】本题主要考查了集合包含关系的应用及不等式的解法，属基础题3.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由茎叶图求出甲的平均成绩，设被污损为x，由题意列不等式求出x的取值范围，再计算所求的概率值【详解】解：由茎叶图知甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）90，甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，设被污损为x，则乙的平均成绩为（83+83+87+99+90+x）90，解得x8，甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为P故答案为：C【点睛】本题考查了茎叶图、平均数、古典概型的概率计算应用问题。4.我国明代珠算家程大位的名著直指算法统宗中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得（ ）白米A. 96石B. 78石C. 60石D. 42石【答案】C【解析】【分析】由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差18，再由180，能求出甲应该分得78石，进而可得结果【详解】解：今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，18，180，解得78（石）7818=60石乙应该分得60石故选：C【点睛】本题考查等差数列的首项的求法，考等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.已知为角终边上一点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由可得，借助三角函数定义可得m值与.【详解】，解得又为角终边上一点，故选：B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和正切公式，属于基础题6.在直角三角形中，在斜边的中线上，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用已知条件，建立坐标系，利用向量的数量积化简，结合二次函数的性质求解最值即可【详解】解：以A为坐标原点，以AB，AC方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，则B（2，0），C（0，4），中点D(1,2)设 ，所以 ， 时，最大值为故选：B【点睛】本题考查向量的数量积以及向量的坐标运算，二次函数的性质的应用，考查计算能力7.已知，都是常数，若的零点为，则下列不等式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意设g（x）（xa）（xb），则f（x）2019+g（x），由函数零点的定义求出对应方程的根，画出g（x）和直线y-2019的大致图象，由条件和图象判断出大小关系【详解】解：由题意设g（x）（xa）（xb），则f（x）2019+g（x），所以g（x）0的两个根是a、b，由题意知：f（x）0 的两根c，d，也就是 g（x）-2019的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y-2019的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又ab，cd，则c，d在a，b内，由图得， ，故选：A【点睛】本题考查函数的零点、对应方程的根、以及函数图象之间的关系，考查转化思想、数形结合思想，构造法的应用，正确构造函数和画出图象是解题的关键8.在棱长为2的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到平面D1EF的距离,N到面的距离是M到该面距离的一半【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则M（2，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），（2，0，1），（0，2，0），（0，1），设平面D1EF的法向量（x，y，z），则 ，取x1，得（1，0，2），点M到平面D1EF的距离为：d，N为EM中点，所以N到该面的距离为 ，选D【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，以及数形结合思想9.已知正项等比数列满足 ，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）A. B. C. 3D. 【答案】C【解析】【分析】由a9a8+2a7，求出公比的值，利用存在两项am，an使得 ，写出m，n之间的关系，结合基本不等式得 的最小值【详解】解：设等比数列的公比为q（q0），a9a8+2a7，a7q2a7q+2a7，q2q20，q2或q=-1（舍），存在两项am，an使得， ， 故选C.【点睛】本题考查等比数列的通项和基本不等式的性质。10.已知双曲线:的左、右焦点分别为、，为坐标原点，是双曲线在第一象限上的点，直线交双曲线左支于点，直线 交双曲线右支于点，若，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，根据双曲线的定义和余弦定理，可得a与c的关系，再求出a与b关系即可求出渐近线方程.详解】解：由题意，|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a，|PF1|4a，|PF2|2a，由于P,M关于原点对称， 关于原点对称，所以线段 , 互相平分，四边形 为平行四边形， ,MF2N60，F1PF260，由余弦定理可得4c216a2+4a224a2acos60，ca，ba ，双曲线C的渐近线方程为yx故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查余弦定理，考查学生的计算能力。11.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用体积公式求出结果【详解】解：根据几何体三视图，转换为几何体是由一个底面面积为 的直角三角形，高为2的三棱锥体，故：V故选：C【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转化能力12.已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第二象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得 为等腰直角三角形，设|PF2|t，运用椭圆的定义可得|PF1|2at，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算可得离心率【详解】解：PF2PQ且|PF2|PQ|，可得PQF2为等腰直角三角形，设|PF2|t，则|QF2| ，由椭圆的定义可得|PF1|2at， 则t2（2）a，在直角三角形PF1F2中，可得t2+（2at）24c2，4（64）a2+（128）a24c2，化为c2（96）a2，可得e 故选A.【点睛】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰直角三角形的性质和勾股定理，以及运算求解能力。第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知，满足约束条件，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即 到可行域内点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求得答案【详解】解：由x，y满足约束条件 作出可行域如图，的几何意义为点到可行域内点的距离的平方，由图可知，到直线 的距离最小为： z的最小值为 。【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法。14.大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则一考生从某大学所给的10个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）【答案】672【解析】【分析】分类讨论，分别求出甲、乙都不选，甲、乙两个专业选1个时的报名方法，根据分类计数原理，可得结论【详解】解：甲、乙都不选时，有 种；甲、乙两个专业选1个时，有种，根据分类计数原理，可得共有336+336=672种不同的填报专业志愿的方法故答案为：672【点睛】本题考查计数原理的运用，考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键15.数列的前项和为，定义的“优值”为 ，现已知的“优值”，则_.【答案】【解析】【分析】由2n，得a1+2a2+2n1ann2n，将n换为n1，作差可得ann+1，由等差数列的求和公式，即可得到所求值【详解】解：由2n，得a1+2a2+2n1ann2n，n2时，a1+2a2+2n2an1（n1）2n1，得2n1ann2n（n1）2n1（n+1）2n1，即ann+1，对n1时，a12也成立，所以 。【点睛】本题考查新定义的理解和运用，以及等差数列的求和公式和运用。16.关于的方程在区间上有两个实根，则实数的最小值是_.【答案】【解析】【分析】由题分离可得k，x有两个根，即yf（x）的图象与直线yk有两个交点，利用导数研究f（x），x的单调性即可得解.【详解】解： 可变形为：k，设f（x），x，f（x） ，设g（x）12lnx2x，xg（x） 0，即yg（x）为减函数， ， ，所以 ，使 ；即yf（x）在 为增函数，在 为减函数，又 ， ；关于的方程 在区间 上有两个实根，等价于yf（x）的图象与直线yk的交点个数有两个，所以实数的最小值是 。【点睛】本题考查了函数与方程的思想，导数的综合应用，利用导数研究函数的大致图象三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在中，角，所对的边分别是，已知且（1）求角的大小；（2）若，延长至，使，且，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理,边化角得到sinC的值，由题意知C为锐角，求出C.（2）根据图形设BC=x,利用余弦定理求出x的值，再求出AB的值，利用正弦定理求出sinA，即可得到三角形面积。【详解】（1）由正弦定理得.，又，.（2）设，则，在中，由余弦定理得，解得，即，.在中，由正弦定理得，.面积.【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，解三角形的综合应用，意在考查学生分析问题解决问题的能力.18.如图，已知四棱锥的底面为菱形，且， （）求证：平面平面（）求二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】本试题主要考查了面面垂直和二面角的求解的综合运用。（1）根据已知条件找到线面垂直，然后利用面面垂直的判定定理得到其证明。（2）合理的建立空间直角坐标系，然后表示出点的坐标和向量的坐标，借助于平面的法向量，得到向量的夹角，从而得到二面角的平面角的大小。（I）证明：取的中点，连接为等腰直角三角形2分又是等边三角形，又，4分，又平面 平面;6分（II）以中点为坐标原点，以所在直线为轴,所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则8分设平面的法向量，即，解得，设平面的法向量，即，解得，10分所以二面角的余弦值为12分19.某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有人参加，现将所有参加者按年龄情况分为，等七组，其频率分布直方图如图所示，已知这组的参加者是6人（1）根据此频率分布直方图求该校参加秋季登山活动的教职工年龄的中位数；（2）已知和这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率；（3）组织者从这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为，求的分布列和均值【答案】（1）35；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）先求出频率分布直方图中 矩形的高，使左右面积相等的垂直于x轴的直线所对应的横坐标即为这个频率分布直方图的中位数。（2）先分别求出这两组的总人数，再分两种情况去讨论，最后把得到的两个概率相加即可。（3）超几何分布，X可能的值为1,2,3，分别求出相应的概率，列出分布列，再求均值。【详解】（1）设矩形在的高为，.由，中位数为35.（2）记事件为“从年龄在和之间选出的2人中恰有1名数学教师”，年龄在之间的人数为8，年龄在之间的人数为6，.（3）年龄在之间的人数为6人，其中女教师4人，的可能取值为1，2，3，的分布列为：123.【点睛】本题考查频率分布直方图应用，离散型随机变量的分布列和数学期望。20.已知椭圆的方程为，是椭圆上的一点，且在第一象限内，过且斜率等于-1的直线与椭圆交于另一点，点关于原点的对称点为（1）证明：直线的斜率为定值；（2）求面积的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用点差法即可求证直线BD的斜率为定值；（2）设直线BD的方程，由SABD2SOBD，将直线BD的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式及基本不等式即可求得ABD面积的最大值【详解】（1）设，则，直线的斜率，由，两式相减，由直线，所以，直线的斜率为定值.（2）连结，关于原点对称，所以，由（1）可知的斜率，设方程为.在第三象限，且，到的距离，由，整理得：， ，.当时，取得最大值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，考查转化思想.21.已知函数，（1）当时，证明；（2）当时，对于两个不相等的实数、有，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）a=1时，对f(x)求导，判断f(x)单调性求出它的最小值即可证明。（2）先判断函数f（x）的单调区间，再构造 ，求导判断它的单调性，根据 ，且 ，可得不在同一个单调区间内，不妨设 ，利用函数的单调性即可证明.【详解】（1），在上单调递减，在上单调递增.时，取得极小值，即最小值.即.（2）证明：当时，则，时，单调递减，时，单调递增，令，则，.当时，单调递减，即，当时，.又