9.5三角形的中位线

9 5三角形的中位线 情景创设 怎样将一张三角形纸片剪成两部分 使分成的两部分能拼成一个平行四边形 1 剪一个三角形 记为 ABC2 分别取AB AC的中点D E 并连接DE3 沿DE将 ABC剪成两部分 并将 ADE绕点E旋转180 得四边形DBCF 1 操作 四边形DBCF是什么特殊的四边形 为什么 2 思考 答 四边形DBCF是平行四边形 由操作可知 ADE与 CFE关于点E成中心对称 则CF AD F ADE 由 F ADE可得 AB CF 又由CF AD AD DB可得 DB CF 所以四边形BCFD是平行四边形理由 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3 三角形中位线的概念 连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线 三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么 答 三角形的中位线的两端都是中点三角形的中线一端是中点 另一端是顶点 想一想 议一议 ABC的中位线DE与BC有怎样的位置和数量关系 为什么 答 DE BC DE BC通过探索得知 四边形BCFD是平行四边形则DF BCDF BC即DE BCDE DF BC三角形中位线的性质 三角形的中位线平行与第三边 并且等于它的一半 说明此性质的特点 同一条件下有2个结论因为DE为 ABC的中位线所以 DE BC DE BC 位置关系数量关系 例题讲解 例1 在四边形ABCD中 AC BD E F G H分别是AB BC CD DA的中点 求证 四边形EFGH是菱形 E F分别是AB BC的中点 EF 1 2AC 理由 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 同理 FG BD 2 GH AC 2 HE BD 2 AC BD 四边形EFGH是菱形 理由 一四边相等的四边形是菱形 EF FG GH HE 证明 例题解析 猜一猜 画一个任意四边形 并画出四边的中点 再顺次连接四边形的中点 得到的四边形的形状是什么 如图 四边形ABCD中 EFGH分别是ABCDADBC的中点 四边形EFGH是平行四边形吗 为什么 解 四边形EFGH是平行四边形 连接DB 因为E H分别是AB AD的中点 即EH是 ABD的中位线 所以EH BD EH BD 理由是 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 同理可得 FG BDFG BD 所以EH FG EH FG 故四边形EFGH是平行四边形 理由是 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 议一议 顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是什么形状 为什么 如果将 矩形 改成 菱形 呢 顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形 顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形 结论 议一议 1 如果顺次连接四边形四边中点所得的四边形是菱形 那么原四边形的两条对角线存在什么关系 两条对角线相等 2 上问中的菱形改为矩形呢 两条对角线互相垂直 3 当四边形满足什么条件时 顺次连接它的四边中点所得的四边形是正方形 两条对角线互相垂直且相等 课堂训练 1 如图 1 ABC中 AB 6 AC 8 BC 10 D E F分别是AB AC BC的中点 则 DEF的周长是 面积是 2 如图 2 ABC中 DE是中位线 AF是中线 则DE与AF的关系是 3 若顺次连接四边形四边中点所得的四边形是菱形 则原四边形 A 一定是矩形 B 一定是菱形 C 对角线一定互相垂直 D 对角线一定相等 F A C B D E F 2 互相平分 6cm2 12cm D 如图 梯形ABCD中 AD BC E F分别是AC BD的中点 EF与AD BC的关系如何 为什么 若AD a BC b 求EF的长 A B C D E F 解 AD EF BC 因为AD BC 则 DAF GCF ADF CGF 连接DF并延长DF交BC于G 又AF FC 所以 ADF CFG AAS 所以DF FG 而DE EB 所以EF BC 理由是 三角形的中位线平行于第三边 又AD BC 所以AD EF BC 5 如图 梯形ABCD中 AD BC E F分别是AC BD的中点 EF与AD BC的关系如何 为什么 若AD a BC b 求EF的长 A E D F C B 解 2 所以EF BG BC GC 理由是 三角形的中位线等于第三边的一半 而GC AD 所以EF BC AD b a 由 可知 EF是 DBG的中位线 探索研究 已知 ABC的周长为a 面积为s 连接各边中点得 A1B1C1 再连接 A1B1C1各边中点得 A2B2C2 则 第 次连接所得 A3B3C3的周长 面积 第n次连接所得 AnBnCn的周长 面积 A B C A B C A B C 分析 填