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第一章 直线 综合练习(3)两条直线的位置关系及曲线和方程【例题精选】例1、已知两条直线:l1 = x + my + 6 = 0, l2: (m2)x + 3y + 2m = 0当m为何值时, l1与l2(i)相交; (ii)平行; (iii)重合。解: 若m = 0时l1: x = 6l2: 2x3y = 0, 此时l1与l2相交若 由故i)当, l1与l2相交ii)当m = 1时, , l1与l2平行(iii)当m = 3时, l1与l2重合。例2、已知两条直线l1、l2, 其中一条没有斜率。这两条直线什么时候(1)平行; (2)垂直。逆命题成立吗？解: (1)另一条也没有斜率且在x轴上的横截距不相等时, 它们平行。(2)另一条斜率为零时, 它们垂直。逆命题分别为:(1)已知两条直线l1、l2, 其中一条没有斜率且它们平行, 则另一条也没有斜率且它们在x轴上的横截距不相等。成立！(2)已知两条直线l1、l2, 其中一条没有斜率且它们垂直, 则另一条斜率为零。成立！例3、若直线x + ay + 2 = 0和2x + 3y + 1 = 0互相垂直, 求a值。解: 由直线A1x + B1y + C1 = 0与A2x + B2y + C2 = 0互相垂直的充要条件A1B2 + A2B1 = 0, 有3 + 2a = 0解得。例4、已知A(1, 3)、B(2, 1), 求过P(1, 0)点与A、B两点距离相等的直线l的方程。解: 依几何性质, 知过P点与直线AB平行的直线以及过P点及线段AB中点C的直线为所求。 设C(x0, y0)则则所求直线l的方程为: y = 2(x + 1)及, 即2x + y + 2 = 0及4x5y + 4 = 0为所求。例5、已知直线分别满足下列条件, 求直线的方程:(1)经过两条直线2x3y + 10 = 0和3x + 4y2 = 0的交点, 且垂直于直线3x2y + 4 = 0;(2)经过两条直线2x + y8 = 0和x2y + 1 = 0的交点, 且平行于直线4x3y7 = 0。分析: 两条直线A1x + B1y + C1 = 0、A2x + B2y + C2 = 0相交, 交点为P(x0, y0)应由解方程组求得, 而解二元一次方程有加减消元法, 即直线方程过P(x0, y0)点。解: (1)设所求直线方程为:, 即依题意, 知其斜率为故, 有解得, 代入得所求方程为:34x51y + 34 = 0即2x + 3y2 = 0(2)设所求直线方程为:即依题意, 知其斜率为故, 有解得: 代入得, 所求直线方程为4x3y6 = 0例6、在ABC中, BC边上的高线AH所在的直线方程为xy1 = 0, A的平分线AT所在的直线方程为4x3y5 = 0, 且B点坐标为(1, 0), 求点A、C的坐标。解: 由 得, 即A(2, 1)设BC边所在直线方程为: y = x + m, 由B(1, 0)在BC上, 得m = 1, 即BC边所在直线方程为y = x1AT平分BAC, 即BAT = TAC 将AC过A(2, 1), 由直线方程的点斜式得: AC所在直线方程为79x3y155 = 0由解得说明: 求C点坐标的另一种方法由于AT为BAC平分线, 所以直线AB、AC关于AT对称, 即B点关于AT的对称点一定在直线AC上, 由此可由两点式求出AC直线方程。例7、已知正方形的中心M为直线2xy + 2 = 0和x + y + 1 = 0的交点, 正方形一边所在直线的方程为x + 3y5 = 0, 求这一正方形其他三边所在直线的方程。分析: 可由已知条件求出正方形的中心, 然后根据正方形的两对边平行和两邻边垂直以及中心到各边的距离相等这些性质, 运用点到直线的距离公式来求出正方形其他三边所在直线的方程。解: 由 故正方形中心M(1, 0)点M到直线x + 3y5 = 0距离根据正方形两对边平行和两邻边垂直这些性质, 可设其他三边所在直线的方程为x + 3y + m = 0和3xy + n = 0中心M(1, 0)到四边距离相等,即m = 5或7; n = 3或9因此, 所求直线方程为x + 3y + 7 = 0, 3xy3 = 0, 3xy + 9 = 0。例8、设命题甲: 点P的坐标适合方程F(x, y) = 0; 命题乙: 点P在曲线C上; 命题丙: 点Q的坐标不适合F(x, y) = 0; 命题丁: 点Q不在曲线C上。已知甲是乙的必要条件, 但不是充分条件, 那么()A丙是丁的充分非必要条件;B丙是丁的必要非充分条件;C丙是丁的充要条件;D丙既不是丁的充分条件也不是丁的必要条件。解: 由已知条件, 得“乙甲”且“甲乙”它的逆否命题为“丙丁且丁丙”故选A。例9、求经过两条曲线交点的直线的方程。解: 设这两曲线的任意一个交点为M(x0, y0), 则是方程组的解, 即为方程的解若令此方程为直线方程, 则应有, 为所求。例10、求抛物线对称的曲线方程。解: 设所求曲线上任意一点为M(x, y), 依题意, 有M(x, y)关于2x + 3y1 = 0对称点在抛物线上。依题意, 有由, 得代入并整理,得所求曲线方程为: 【综合练习】(一)习题:1、唯一性选择题:(1)直线3x + 2y + m = 0和(m2 + 1)x3y + 23m = 0的位置关系是()A平行B相交C重合D与m有关(2)若点(2, k)到直线5x12y + 6 = 0的距离是4, 则k的值是()A1B3C1或D3或(3)原点关于x2y + 1 = 0的对称点的坐标为()ABCD(4)若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x, y) = 0”是正确的, 则下列命题中正确的一个是()Af(x, y) = 0是曲线C的方程B坐标满足方程f(x, y) = 0点均在曲线上C曲线C是方程: f(x, y) = 0的轨迹D方程f(x, y) = 0所表示的曲线不一定是C(5)设命题甲: lgx2 = 0; 命题乙: x = 1, 则甲是乙的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2、填空题:(1)射光线沿直线y = 2x + 1射向xy2 = 0, 则反射光线所在的直线方程为 。(2)使(1 + x)(1|x|) 0成立的充要条件是。(3)若, 则直线(2m1)x + (m + 3)y(m11) = 0恒过的定点坐标是。(4)曲线F(x, y) = 0关于点(3, 2)对称的曲线方程为。3、解答题:(1)求过点P(3, 5)的所有直线中, 与Q(1, 1)距离最远的直线方程。(2)讨论直线l: y = kx1与抛物线C: y = x2的位置关系, 并在l与C相交时, 求交点间的距离。(3)已知A、B为两定点, 动点M到A与到B的距离比为常数, 求点M的轨迹方程。【答案】1、(1)B(2)D(3)B(4)D(5)B2、(1)x2y7 = 0; (2)。提示: 使(1 + x)(1|x|)为正的充要条件就是求不等式:(1 + x)(1|x|) 0的解, 即求不等式组或的解集。(3)(2, 3)提示: 原方程可化为(x + 3y + 11) + m(2x + y1) = 0由为所求。另解, 取m两个不同值, 联立解方程组, 得再代入(2m1)x + (m + 3)y(m11) = 4m23m9m + 11 = 0成立, 可知定点(2, 3)。(4)F(6x, 4y) = 0提示: 设所求曲线上任意一点为M(x, y), 依题意, 有M(x, y)关于点(3, 2)对称的点在已知曲线F(x, y) = 0上,依题意, 有方程组由解得, 代入得,所求曲线方程为F(6x, 4y) = 03、(1)解: 由图形的几何意义, 可知所求直线过点P(3, 5)与PQ垂直可设为: y 5 = K(x3)由 有y5 = x + 3即x + y8 = 0为所求直线方程。(2)解: 由 , 得x2kx + 1 = 0 其中 = k24当 0, 即时, l与C相交,