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抛物线及其标准方程 2 例1点m到点f 4 0 的距离比它到直线l x 5 0的距离小1 求点m的轨迹方程 mf 1 x 5 解 直接法 设m x y 则由已知 得 另解 定义法 由已知 得点m到点f 4 0 的距离等于它到直线l x 4 0的距离 由抛物线定义知 点m的轨迹是以f 4 0 为焦点的抛物线 m是抛物线y2 2px p 0 上一点 若点m的横坐标为x0 则点m到焦点的距离是 思考题 2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点f作倾斜角为 的直线交抛物线于a b两点 求 ab 的最小值 例3 在抛物线y2 8x上求一点p 使p到焦点f的距离与到q 4 1 的距离的和最小 并求最小值 解 k 分析 运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷 例4过抛物线y2 2px的焦点f任作一条直线m 交这抛物线于a b两点 求证 以ab为直径的圆和这抛物线的准线相切 证明 如图 所以eh是以ab为直径的圆e的半径 且eh l 因而圆e和准线l相切 设ab的中点为e 过a e b分别向准线l引垂线ad eh bc 垂足为d h c 则 af ad bf bc ab af bf ad bc 2 eh 变式 抛物线改为椭圆或双曲线 情形会怎样 在椭圆中以ab为直径的圆与准线相离 在双曲线中以ab为为直径的圆与准线相交 练习 已知抛物线y x2 动弦ab的长为2 求ab中点纵坐标的最小值 f a b m 解 练习 已知抛物线y x2 动弦ab的长为2 求
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