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矩阵论电子教程 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 DepartmentofMathematics 矩阵的分解 第四章 三角分解法是将原正方 square 矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列 permuted 的上三角形矩阵和一个下三角形矩阵 这样的分解法又称为LU分解法 它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程 求反矩阵 和求解联立方程组 从而达到求解线性方程组的目的 然后求解 于是可首先求解向量使 假定我们能把矩阵写成下列两个矩阵相乘的形式 其中为下三角矩阵 为上三角矩阵 这样 我们可以把线性方程组写成 令 则原线性方程组 定义 设若使得 称可以作三角分解 其中 记 定理 可作唯一三角分解的充要条件为 其中 为的顺次主子式 L为一般下三角阵而为单位上三角阵的分解称为Crout分解 为单位下三角阵而为一般上三角阵的分解称为Doolittle分解 证明 设 定理 Cholesky分解 正定的Hermite矩阵可唯一的分解为 其中 为正线下三角 即对角线的元素均为正的 例1 求A的Crout分解和分解 解答 设 即 由此 将继续分解成得出 定理2 设 那么可唯一地分解为其中 为正线上三角阵 定理1 是次酉阵当且仅当的列 行 为标准正交向量组 定义1 设 若则称为次酉阵 全体列满秩 行满秩 的次酉阵的集合记为 证明 先证明分解的存在性 将矩阵按列分块得到由于 所以是线性无关的 利用Schmidt正交化与单位化方法 先得到一组正交向量组再单位化 这样得到一组标准正交向量组 由前面学的定理有 记 则于是 下面证明分解是唯一的 假设 那么有 注意到仍是酉矩阵 而是一个正线上三角矩阵 因此有 于是 从而 推论1 设 那么可唯一地分解为其中 为正线下三角阵 例1求下列矩阵的正交三角分解 解答 容易判断出即是一个列满秩矩阵 按照定理的证明过程 将的三个列向量正交化与单位化先得到一个正交向量组 再将其单位化 得到一组标准正交向量组 这样 原来的向量组与标准正交向量之间的关系可表示成 将上面的式子矩阵化 即为 解答 首先判断出 由定理可知必存在以及三阶正线上三角矩阵使得 练习 求下列矩阵的正交三角分解 重复例题的步骤 即得结果 定理 设 那么存在使得 我们知道进行矩阵分解往往是为了提高计算效率 下面我们将给出另一种矩阵的分解 其中为列满秩矩阵 为行满秩矩阵 我们成此分解为矩阵的满秩分解 证明 假设矩阵的前个列向量是线性无关的 对矩阵只实施行初等变换可以将其化成 即存在使得 于是有 其中 如果的前列线性相关 那么只需对作列变换使得前个列是线性无关的 然后重复上面的过程即可 这样存在 且满足 例1 分别求下面三个矩阵的满秩分解 解 1 对此矩阵只实施行变换可以得到 由此可知且该矩阵第一列 第三列是线性无关的 选取 同样 我们也可以选取 解 2 对此矩阵只实施行变换可以得到所以 且此矩阵的第三 第四 第五列任意一列都是线性无关的 所以选取哪一列构成列满秩矩阵均可以 选取 也可以选取 解 3 对此矩阵只实施行变换可以得到 所以 且容易看出此矩阵的第二列和第四列是线性无关的 选取 由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形式并不唯一 一般地我们选取阶梯型矩阵主元所在的列对应的列向量构成列满秩矩阵 将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成行满秩矩阵 但是不同的分解形式之间有如下联系 定理 如果均