李帮运《条件概率的思考》

浅谈对条件概率教学的思考武汉市光谷第二高级中学 李帮运摘要：条件概率是概率论基础知识中的一个基本概念,是积事件概率和全概率公式的基础,但这一概念往往不被学生所重视,以至于影响到后面的教学效果. 参考文献 胡彬 由一个抽奖活动探究条件概率的定义和计算公式新高考（高二版）2009年06期关键词：条件概率；概率；随机试验；事件； 抽样条件概率是高中数学课程改革中的新增内容，是概率论中的一个重要概念，在条件概率教学过程中,笔者感觉到学生难以清楚地理解条件概率、积事件概率等概念,特别是在求解有关问题时,往往无处着手,出现思维障碍,遇到具体问题时，因分不清是（/）还是（）而经常出错产生混淆因此弄清楚（/），（），（）这三者之间的区别与联系是学好本节的关键。下面就高中数学选修条件概率的探究引例，谈谈对条件概率教学的一些解决想法.（一）通过具体事例引出概念 引例：三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小？解析：若抽到中奖奖券用“X”表示，没有抽到用“”表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能： X ， X , X ,用表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则仅包含一个基本事件 X ,由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为（）1/3思考：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有 X , X ,而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是 X ,由古典概型计算公式可知最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1/2，不妨记为（/），其中表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件中，从而影响事件发生的概率，使得（/）（）在这样的背景下引出条件概率的课题和定义：设、为两个事件，且（），称（/）为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率一般把（/）读作发生的条件下的概率，显得顺理成章，水到渠成（二）用多种方法突破疑点 （）利用样本空间解析 ： 思考为什么上述例子中（/）（）？事件和事件，（/）与它们的概率有什么关系呢？在引例中抽到中奖奖券用“X”表示，没有抽到用“”，用表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即=X ， X , X （/）以发生为条件，样本空间缩小为 X , X在事件发生的情况下事件发生，等价于事件和事件同时发生，即发生而事件中仅含一个基本事件 X，因此,其中(）和（）分别表示事件和事件所包含的基本事件个数另一方面，根据古典概型的计算公式，（）=n()/n(),（）n()/n()，（）表示中包含的基本事件个数所以， 因此，可以通过事件和事件的概率来表示（/）一般来说（/）比(）大 很明显 （/）与（）样本空间不一样为了学生更好地理解，还可以再添加实例如：掷一枚质地均匀硬币两次记第一次正面向上为事件A,第二次正面向上为事件,求(1) ()、（）、（）, (2) （/）.解析：基本事件空间=正正，正反，反正，反反A所包含的基本事件是“正正，正反”，则()=1/2 ,所包含的基本事件是“正正”，则（）=1/4 ,B所包含的基本事件是“反正，正正”,则()=2/4=1/2,（2）已知第一次正面向上条件下，第二次正面向上的基本事件空间是正正，反正 而事件/包含一个基本事件“正正”，则（/）=1/2虽然这儿有()=（/）=1/2，但是它们的基本事件空间正正，正反，反正，反反，正正，反正是不一样的.通过这样的实例学生对（/）与（）的关系有了很好的理解和认识这样利用缩小样本空间的观点求条件概率学生更容易理解（）利用数形结合的思想突破难点 虽然从理论上推出该公式有困难，但采用文氏图可直观地解释一下该公式，用图示法表示为右图形式：事件的样本点已落在图形中（事件已发生），且又要求落在中，于是只能落在中，把（）看成为的面积与必然事件的面积的比值，那么，（/）为在发生条件下发生的概率，可理解为的面积与的面积的比值，分别除以面积，即得条件概率计算公式为（/）（）/（）（）. 可以让学生从心理上接受它并加深印象，而公式本身已证明是成立的，只要加以说明就行，这样可起到降低难度的作用，该公式给出了计算条件概率的另一种方法。 类似地，（/）（）/（），（）若随机试验的样本空间为，那么讨论（/）的样本空间是，而（）的样本空间为(三)借助教材典例巩固概念及应用 例:在道题中有道理科题和道文科题如果不放回地依次抽取道题，求：（）第次抽到理科题的概率；（）第次和第次都抽到理科题的概率；（）在第次抽到理科题的条件下，第次抽到理科题的概率解: 设第次抽到理科题为事件，第次抽到理科题为事件，则第次和第次都抽到理科题为事件（）从道题中不放回地依次抽取道题的事件数为（）A根据分步乘法计数原理， （）=12（）因为（）=，所以（）.（）解法由（）、（）可得，在“第次抽到理科题的条件下，第次抽到理科题”的概率为解法因为n（），（）=，所以