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74 简单的线性计划教案 7.4简单的线性规划教学目标 （1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域； （2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念； （3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； （4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力； （5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新教学建议 一、知识结构教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用 二、重点、难点分析本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次 （1）二元一次不等式表示平面区域首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线 （2）二元一次不等式组表示平面区域在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法 三、教法建议 （1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念 （2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论 （3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的 （4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的 （5）对作业、思考题、研究性题的建议作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；思考题主要供学有余力的学生课后完成；研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维 （6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可 （7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小线性规划教学设计方案（一）教学目标使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域重点难点了解二元一次不等式表示平面区域教学过程【引入新课】我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？【二元一次不等式表示的平面区域】1先分析一个具体的例子我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个数，且数的最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合是什么图形呢？在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类在l上；在l的右上方的平面区域；在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（1，1）等等不属于A，它们满足不等式，这些点却在l的左下方的平面区域由此我们猜想，对直线l右上方的任意点成立；对直线l左下方的任意点成立，下面我们证明这个事实在直线上任取一点，过点P作垂直于y轴的直线，在此直线上点P右侧的任意一点，都有于是所以因为点，是L上的任意点，所以，对于直线右上方的任意点，都成立同理，对于直线左下方的任意点，都成立所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集点是直线右上方的平面区域（如图）类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域2二元一次不等式和表示平面域 （1）结论二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线 （2）判断方法由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点，以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当时，常把原点作为此特殊点【应用举例】例1画出不等式表示的平面区域解；先画直线（画线虚线）取原点（0，0），代入，原点在不等式表示的平面区域内，不等式表示的平面区域如图阴影部分例2画出不等式组表示的平面区域分析在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分解不等式表示直线上及右上方的平面区域，表示直线上及右上方的平面区域，上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域 （1） （2） （3） （4） （5）总结提炼1二元一次不等式表示的平面区域2二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法3二元一次不等式组表示的平面区域布置作业1不等式表示的区域在的（）A右上方B右下方C左上方D左下方2不等式表示的平面区域是（）3不等式组表示的平面区域是（）4直线右上方的平面区域可用不等式表示5不等式组表示的平面区域内的整点坐标是6画出表示的区域答案1B2D3B45（1，1）6线性规划教学设计方案（二）教学目标巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值重点难点理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点教学步骤【新课引入】我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用【线性规划】先讨论下面的问题设，式中变量x、y满足下列条件求z的最大值和最小值我们先画出不等式组表示的平面区域，如图中内部且包括边界点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，点（0，0）在直线上作一组和平等的直线可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t最大，以经过点的直线，所对应的t最小，所以在上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解【应用举例】例1解下列线性规划问题求的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件解先作出可行域，见图中表示的区域，且求得作出直线，再将直线平移，当的平行线过B点时，可使达到最小值，当的平行线过C点时，可使达到最大值通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即第一步在平面直角坐标系中作出可行域；第二步在可行域内找出最优解所对应的点；第三步解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值例2解线性规划问题求的最大值，使式中的x、y满足约束条件解作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域作出直线将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使达到最大值，解方程组得点B的坐标为（9，2）这个例题可在教师的指导下，由学生解出在此例中，若目标函数设为，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数所确定的直线的斜率有关就这个例子而言，当的斜率为负数时，即时，若（直线的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当时，点C处使z取得最大值（比如时），若，可请同学思考随堂练习1求的最小值，使式中的满足约束条件2求的最大值，使式中满足约束条件答案1时，2时，总结提炼1线性规划的概念2线性规划的问题解法布置作业1求的最大值，使式中的满足条件2求的最小值，使满足下列条件答案12在可行域内整点中，点（5，2）使z最小，扩展资料线性规划的解课本题中出现的线性规划都有唯一的最优解，其实线性规划的解有许多不同的情况，除了有唯一的最优解的情况外，还有 （1）无可行解，从而无最优解这就是约束条件不等式组无解的情况 （2）有无穷多个最优解例2我们用图解法求解由于目标函数等高线和可行域的边界线平行，沿着目标函数值增加方向平行移动目标函数的等高线，最终停留在直线上，所以线段AB上的所有点都是最优解线性规划如果有最优解，只会是有唯一最优解或者有无穷多个最优解这两种情况，不会出现其他情况，这就是下面的命题命题1如果线性规划有两个不同的最优解，那么对任意，是最优解这个命题的证明可以在任何一本线性规划的书中找到，这里就不再证明了事实上证明是平凡的，只要注意到在线段上，利用线性性质，读者就可以自己证明 （3）有可行解，无最优解例3我们用图解法求解从图中可以看出随着目标函数等高线的移动，目标函数值会越来越大，没有上界有的书上称之为无界解无界解的情况只会出现在可行域是开区域的时候如果可行域是闭区域，就一定是有界的，于是有命题2如果统性规划可行域是闭区域，那么一定有最优解只要注意到线性函数是连续函数，上面的命题就是“有界闭区域上连续函数可以达到最大值或最小值”这一定理的一个推理从上面的例子中我们可以看出，如果有最优解，那么就有可行域的顶点是最优解所以也可以通过比较可行域顶点的目标函数值来求线性规划的最优解例如，中的顶点的目标函数值是；的目标函数值是3；的目标函数值是于是通过比较可以知道是最优解线性规划的单纯形算法，就是一种从顶点到顶点并使得目标函数值不断改进的迭代算法，由于可行域的顶点只有有限多个，所以经过有限次送代就可以求出线性规划的最优解单纯形算法可以求解一般的（变量多于两个）线性规划问题许多实际问题中变量和约束的个数都很多，有些规模比较大的问题中变量和约束的个数甚至可以上万，这样的问题当然是无法用手工计算的，需要用计算机和专门的软件求解对于规模不是太大（如几十个变量）的线性规划，现在常用的数学软件如Mathematica，Matlab都可以解下面介绍如何用Matematica解线性规划用Mathematica解线性规划用的是ConstrainedMax或者函数，这两个函数的格式如下目标函数，目标函数，由于软件是用C语言编写的，所以它的函数带有C语言的风格表示表格，和函数中都有两个表格，第一个表格是约束条件的表，第二个表格是变量表，表格中的项用逗号分隔要指出的是由于一般的线性规划中的变量都是非负变量，这两个函数的变量也要求有非负约束，但是非负约束可以不在约束条件表格中列出例如求解线性规划只要输入In2计算机就会给出计算结果最优值2，最优解斜体的和自动加上的表示输入，表示输出，中的2表示行号用求例l中的规划问题，在许多实际问题中都要求线性规划的最优整数解，课本中也出现了这样的例子和习题但是笔者以为求最优整数解不应该成为教学的重点因为求整数解的问题属于整数规划的范畴，而整数规划和线性规划是运筹学中两个不同的分支教材的作者显然是知道这一点的，所以在教材的处理上回避了如何去求整数解这个问题作者这样做一方面告诉大家求整数解不应该成为教学的重点，另一方面也给学生留下了一个自由发展的空间事实上对于课本上出现的这样非常简单的问题只要在非整数优解的附近找出整数可行解，通过比较它们目标函数值的大小就可以求出最优整数解，学生完全可以自己想办法解决在科普杂志科学的美国人（Scientific American）1981年第6期上有一篇介绍线性规划的文章，文章用了下面的一个例子（本文中的数量单位有改动）某啤酒厂生产两种啤酒，其中淡色啤酒A桶，啤酒B桶粮食、啤酒花和麦芽是三种有约束的资源，每天分别可以提供480斤、160两和1190斤假设生产一桶淡色啤酒需要粮食5斤、啤酒花4两、麦芽20斤；生产一桶啤酒需要粮食15斤、啤酒花4两、麦芽35斤售出后每桶淡色啤酒可获利13元，每桶啤酒可获利23元问A，B等于多少时工厂的利润最大这个例子的线性规划模型是和课本中的例子相比较这个例子有两个优点，一是它的数据更接近实际数据，有真实感，同时由于数字较大求出的最优解不是整数的问题被相对淡化了；另一方面例子中三种约束的单位不同，这在实际问题中经常出现，例子可以告诉学生列规划时并不需要统一各种约束条件的单位笔者建议在教学中可以使用类似的例子选自中学数学月刊xx第八期选节探究活动利润的线性规划问题某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预xx年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？分析首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为（0，5），1998年的利润为7万元及1999年的利润为8万元分别对应点（1，7）和（2，8），那么若将过两点的直线作为预测直线，其方程为，这样预测xx年的利润为13万元若将过两点的直线作为预测直线，其方程为，这样预测xx年的利润为11万元若将过两点的直线作为预测直线，其方程为，这样预测xx年的利润为10万元若将过及线段的中点的直线作为预测直线，其方程为，这样预测xx年的利润为11667万元若将过及的重心（注为3年的年平均利润）的直线作为预测直线，其方程为，这样预测xx年的利润为11667万元若将过及的重心的直线作为预测直线，其方程为，这样预测xx年的利润为10667万元若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为，这样预测xx年的利润为9万元若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为，这样预测xx年的利润为11.5万元.若将过点且以线段的斜率为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线的方程为；，这样预测xx年的利润为12万元若将过且以线段的斜率与线段的斜率的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为，这样预测xx年的利润为12万元如此这样，还有其他方案，在此不一列举思考 （1）第种方案与第种方案的结果完全一致，这是为什么？ （2）第种方案中，的现实意义是什么？ （3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案如方案中，过的重心，找出以为斜率的直线中与两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线 （4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？习题精选 一、填空题1点到直线的距离等于4，且在不等式表示的平面区域内，则点的坐标为。 2满足线性约束条件的可行域共有_个整数点。 3设为平面内以三点为顶点的三角形区域(包括边界)，当在上变动时，的最小值是_。 参考答案1243 二、解答题1设，式中变量满足求的最大值和最小值。 2有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于配套，怎样截最合理？3某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个和55个，所用原料为A、B两种规格金属板每张面积分别为2和3，用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个，用B种规格金属板可造甲、乙品种各6个，问两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并能使总的用料面积最省？参考答案1，2设500mm的根，600mm的根，约束条件为、，目标函数为，画图可求出最优整数解为3设A、B两种规格金属板各取张，用料面积为，则约束条件为，目标函数为，用图解法可求出最优解典型例题例1画出不等式组表示的平面区域分析采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分解把，代入中得不等式表示直线下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示说明“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法例2若、满足条件求的最大值和最小值分析画出可行域，平移直线找最优解解作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示作直线，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点时