人教A版必修一 1.3.2.2奇偶性的应用 课件（39张）.ppt

第2课时奇偶性的应用 第一章1 3 2奇偶性 学习目标1 掌握用奇偶性求解析式的方法 2 理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式 3 了解函数的奇偶性的推广 对称性 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间 a b 上的解析式 想求关于原点的对称区间 b a 上的解析式 其解决思路为 1 求谁设谁 即在哪个区间上求解析式 x就应在哪个区间上设 2 要利用已知区间的解析式进行代入 3 利用f x 的奇偶性写出 f x 或f x 从而解出f x 特别提醒 若函数f x 的定义域内含0且为奇函数 则必有f 0 0 但若为偶函数 未必有f 0 0 知识点二奇偶性与单调性 思考观察偶函数y x2与奇函数y 在 0 和 0 上的单调性 你有何猜想 答案偶函数y x2在 0 和 0 上的单调性相反 奇函数y 在 0 和 0 上的单调性相同 梳理一般地 若函数f x 为奇函数 则f x 在关于原点对称的两个区间 a b 和 b a 上具有相同的单调性 若函数f x 为偶函数 则f x 在关于原点对称的两个区间 a b 和 b a 上具有相反的单调性 知识点三奇偶性的推广 一般地 对于定义域内任意x 1 若f a x 2b f a x 则f x 的图象关于点 a b 对称 当a b 0时 即为奇函数的定义 2 若f a x f a x 则f x 的图象关于直线x a对称 当a 0时 即为偶函数的定义 思考辨析判断正误 1 奇函数f x 当x 0时的解析式与x 0时的解析式相同 所以一般的奇函数在 0 上的解析式与 0 上的解析式也相同 2 对于偶函数f x 恒有f x f x 3 若存在x0使f 1 x0 f 1 x0 则f x 关于直线x 1对称 4 对于定义域内任意x 有f 1 x f 1 x 则y f 1 x 与y f 1 x 关于直线x 1对称 题型探究 类型一用奇偶性求解析式 命题角度1已知区间 a b 上的解析式 求 b a 上的解析式例1函数f x 是定义域为r的奇函数 当x 0时 f x x 1 求当x 0时 f x 的解析式 解设x0 f x x 1 x 1 又 函数f x 是定义域为r的奇函数 f x f x x 1 当x 0时 f x x 1 解答 反思与感悟求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x 然后把x转化为 x 此时 x成为了已知区间上的解析式中的变量 通过应用奇函数或偶函数的定义 适当推导 即可得所求区间上的解析式 解设x0 因为f x 是奇函数 所以当x 0时 f x f x 2 x x 2 2x x2 因为y f x 是r上的奇函数 所以f 0 0 解答 跟踪训练1已知y f x 是定义在r上的奇函数 且当x 0时 f x 2x x2 求y f x 的解析式 命题角度2已知一奇一偶两函数之和 求这两个函数的解析式 解答 解 f x 是偶函数 g x 是奇函数 f x f x g x g x 反思与感悟f x g x 对定义域内任意x都成立 所以可以对x任意赋值 如x x 因为f x g x 一奇一偶 才能把 x的负号或提或消 最终得到关于f x g x 的二元方程组 从中解出f x 和g x 解 f x 是偶函数 g x 是奇函数 f x f x g x g x 由f x g x 2x x2 用 x代替x 得f x g x 2x x 2 f x g x 2x x2 2 得f x x2 2 得g x 2x 解答 跟踪训练2设f x 是偶函数 g x 是奇函数 且f x g x x2 2x 求函数f x g x 的解析式 证明设x1 x2是区间 b a 上任意两个值 且有x1 x2 b x1 x2 a a x2 x1 b f x 在 a b 上是减函数 f x2 f x1 f x 为偶函数 即f x f x f x2 f x2 f x1 f x1 f x2 f x1 即f x1 f x2 函数f x 在区间 b a 上是增函数 证明 类型二奇偶性对单调性的影响 命题角度1由x的取值情况推导f x 的取值情况例3设f x 是偶函数 在区间 a b 上是减函数 试证f x 在区间 b a 上是增函数 解析设x b a 则 x a b f x m且存在x0 a b 使f x0 m f x 为奇函数 f x m f x m 且存在 x0 b a 使f x0 m f x 在 b a 上有最小值 m 引申探究区间 a b 和 b a 关于原点对称 1 若f x 为奇函数 且在 a b 上有最大值m 则f x 在 b a 上有最 值 答案 解析 小 m 2 若f x 为奇函数 f x 2在 a b 上有最大值m 则f x 2在 b a 上有最 值 解析由 1 知 f x 在 a b 上有最大值m 2时 f x 在 b a 上有最小值 m 2 f x 2在 b a 上有最小值 m 4 答案 解析 小 m 4 反思与感悟与求解析式一样 证哪个区间上的单调性 设x1 x2属于哪个区间 同样 求哪个区间上的最值 也设x属于哪个区间 解析 答案 解析设0 x1 x2 则x1 x2 0 f x 在 0 上为增函数 f x 在 0 上也是增函数 由 3 5 可得f 3 f 5 命题角度2由f x 的取值情况推导x的取值情况例4已知偶函数f x 在 0 上单调递减 f 2 0 若f x 1 0 则x的取值范围是 答案 1 3 解析 f x 为偶函数 f x 1 f x 1 又f 2 0 f x 1 0 即f x 1 f 2 x 1 2 0 且f x 在 0 上单调递减 x 1 2 即 2 x 1 2 x的取值范围是 1 3 解析 反思与感悟若f x 在 a b 上单调递增 则x1 x2 a b 时 可由f x1 f x2 推知x1 x2 但是如果不知道x1或x2是否在 a b 内呢 这时如果已知函数奇偶性 可以借助奇偶性把x1 x2转化为在已知区间 a b 内 解 f x 在 0 上单调递减且为奇函数 f x 在 上单调递减 f x 1 f 2x 3 0 f x 1 f 2x 3 f 2x 3 x 1 2x 3 解答 跟踪训练4奇函数f x 在 0 上单调递减 解不等式f x 1 f 2x 3 0 解答 类型三对称问题 例5定义在r上的奇函数f x 满足 f x 4 f x 且当x 0 2 时 f x x 试画出f x 的图象 解 f x 是奇函数 f x 4 f x f x f x 关于直线x 2对称 反复利用f x 关于原点对称又关于直线x 2对称 可画出f x 的图象如图 反思与感悟奇偶性推广到一般的对称性后 要善于抓住特征识别对称中心 或对称轴 而应用对称性与应用奇偶性完全类似 跟踪训练5定义在r上的偶函数f x 满足 f x 4 f x 且x 0 2 时 f x x 试画出f x 的图象 解 f x 是偶函数 f x 的图象关于y轴对称 又 f x 4 f x f x f x 关于点c 2 0 对称 反复利用f x 关于 2 0 对称又关于y轴对称 可画出的图象如图 解答 达标检测 答案 1 f x x2 x a 是偶函数 在 上是增函数b 是偶函数 在 上是减函数c 不是偶函数 在 上是增函数d 是偶函数 且在 0 是增函数 1 2 3 4 5 2 已知f x 是奇函数 且当x 0时 f x x 1 则当x 0时 f x 等于a x 1b x 1c x 1d x 1 1 2 3 4 5 答案 1 2 3 3 定义在r上的偶函数f x 在 0 上是增函数 若f a bc a b 0 4 5 答案 1 2 3 4 5 答案 4 已知对于函数f x x2 ax定义域内任意x 有f 1 x f 1 x 则实数a 2 1 2 3 4 5 5 2017 沈阳检测 设f x 是定义在r上的奇函数 且y f x 的图象关于直线x 对称 则f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 答案 0 解析 1 2 3 4 5 解析 f x 是定义在r上的奇函数 f 0 0 1 2 3 4 5 即f x f 1 x f 2 f 1 1 f 1 f 1 0 f 3 f 1 2 f 2 f 2 0 同理 f 4 f 5 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 0 1 函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映 也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化 这是对称思想的应用 这种对称推广 就是一般的中心对称或轴对称 2