导数计算及应用.doc

第二章 导数计算及应用 第二章 导数计算及应用本章主要知识点l 导数定义l 复合函数求导,高阶导数,微分l 隐函数,参数方程求导l 导数应用历年真考题1、（2001）若，且在内：，则在内必有（ B ）A. B. C. D. 解析:当时, ,对两边求导,得 再求一次导数,得2、（2001）设参数方程为；则 2 . 解析: 3、（2001）已知，求. 解： 4、（2001）已知，求。解：原方程两边同对求导,得 , 5、（2001）已知曲线经过原点，并且在原点的切线平行于直线，若，且在处取得极值，试确定的值，并求出函数的表达式。 解：（1）“过原点的切线平行于”（2）“在处取得极值”（连续、可导）所以由于，得6、（2001）设函数，具有二阶连续导数，且，（1）求，使得在连续；（2）求。 解：（1） （2）由于具有二阶连续导数，及可知7、（2002）已知是可导函数，则（ C ）A. B. C. D. 解析： 8、（2002）若，则（B ）A. B. C. D. 解析：,.9、（2002）已知在内是可导函数，则一定是（B ）A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 不能确定奇偶性的函数 解析: 令,可验证.10、（2002）设函数由方程确定，则 1 .解析： 两边关于求导,得 , .11、（2002）函数的单调增加区间为. 解析: 利用函数单调性的判定定理, ,当时 所以单调增加区间为.12、（2002）已知，求. 解：13、（2002）设，且在点连续.求（1）的值；（2）. 解：（1） （2）14、（2002）证明：当时，成立. 证明：，因为，所以是偶函数，我们只需要考虑区间，考虑，在时，即表明在单调递增，所以函 数在内严格单调递增；在时，即表明在单调递减，又因为，说明在单调递增.综上所述，的最小值是当时，因为，所以在内满足.15、（2002）已知某厂生产件产品的成本为（元），产品产量与价格之间的关系为：（元），求：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？（2）要企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润。 解：（1）设生产件产品时，平均成本最小，则平均成本，（件）（2）设生产件产品时，企业可获最大利润，则最大利润，此时利润（元）。16、（2003）已知，则（ B ） A. 2 B. 4 C. 0 D. 2解析: 类似于7题17、（2003），则下列说法正确的是（C ）A. B. C. D. 解析: 主要是求导数,再由可得C.18、（2003）已知函数为连续函数，则满足（ C ）A. 为任意实数 B. C. D. 解析: 由题意,只要满足在处连续即可即只要 解出19、（2003）由确定，则.解析: 利用隐函数求导,与4,10题类似.20、（2003）函数的凹区间为.解析: ,当时,所以凹区间为21、（2003）已知，求. 解：22、（2003）证明：在内有且仅有一个实根。 证明：令，因为在内连续，故在内至少存在一个实数，使得.又因为在内大于零，所以在内单调递增，所以在内有且仅有一个实根.23、（2003）设计一个容积为立方米的有盖圆柱形贮油桶。已知单位面积造价：侧面是底面一半，盖又是侧面的一半，问贮油桶的尺寸如何设计，造价最低？ 解：设圆柱形底面半径为，高为，侧面单位面积造价为，则有 由得代入得：，令，得，此时圆柱高所以当圆柱底面半径，高时造价最低.24、（2004）直线L与x轴平行且与曲线相切，则切点的坐标是(C ) A（1，1） B、（1，1） C、（0，1） D、（0，1） 解析: 由题意所以,代入解析式可求出.25、（2004）设，则解析: 26、（2004）设函数yy(x)由方程所确定，求的值. 解: 代入原方程得y(0)=1，对原方程求导得对上式再求导得：将代入上二式，解得：.27、（2004）甲乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合资共建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管的费用分别为每公里500元和700元.问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管的费用最省？ 解: 设污水厂建在河岸离甲城x公里处，则 ， 解得 （公里），唯一驻点，即为所求.28、（2005）设是函数的可导极值点，则a（C） A、1 B、 C、 D、1 解析: 由题意,解得.29、（2005） 2 解析: 用洛必达法则. 30、（2005）对函数在闭区间1,e上应用Lagrange中值定理，求得的 解析:由 即, 解得.31、（2005）设函数在x0处连续，其中求a。 解：因为F(x)在处连续，所以 ,故 。32、（2005）设函数是由参数方程所确定，求. 解： 33、（2005）证明方程在-1,1上有且仅有一个实根. 证明：令，且由闭区间连续函数零点定理知，f(x)在（1,1）上至少有一实根. 反证法：设f(x)有两零点 ，f(x)在（1,1）可导，-1,1连续，且，故f(x)在满足罗尔定理，存在使得这与矛盾，解的唯一性得证.34、（2005）设函数的图形上有一拐点P（2，4），在拐点P处曲线的切线斜率为3，又知该函数的二阶导数求此函数. 解：设所求函数为，则有.由得，即因为所以，由解得.故，由y(2)=4，解得.所求函数为.35、（2005）设函数f (x)二阶可导,且，则为的（ B ）A. 极大值点； B. 极小值点；C. 极小值； D. 拐点横坐标. 解析:由函数极值的第二充分条件.36、（2005）设则 A. 1； B. ；C. 0； D. . 解析: ,由即可算出37、（2005）设函数是由方程所确定，求 解 由 x=0, 得 y=1 方程两边对x求导得 所以 .38、（2005）求函数的极值，并说明是极大值还是极小值. 解 因为 ，所以 令 得驻点x=1 方法一 又，因为 所以 x=1是极大值点，极大值 方法二 当时，；当时， 所以 x=1是极大值点，极大值 39、（2006）函数在处（B）。 A、连续但不可导 B、连续且可导 C、不连续也不可导 D、可导但不连续解析:,所以在处连续. ,所以在处可导.40、（2006）下列函数在上满足罗尔定理条件的是（C）。 A. B. C. D.解析:验证在上连续,在上可导,在区间端点处函数值相等.41、（2006）设函数是由参数方程所确定，求 解： 42、（2006）证明：当时， 证明：令所以，故即43、（2007）设函数，则方程的实根个数为（C） A. B.C. D.解析: 由条件知, 有4个零点:0,1,2,3.利用罗尔定理得推论: 的两个零点之间必存在其导数的零点.44、（2007）若直线是曲线的一条切线，则常数 解析: 由题意解出切点的坐标,代入切线方程即可得的值.45、（2007）求极限 解： 46、（2007）设函数由方程确定，求 解：方程两边对求导得，所以 又当时，故，将，代入上式得，47、（2007）设函数具有如下性质：在点的左侧临近单调减少；在点的右侧临近单调增加；其图形在点的两侧凹凸性发生改变试确定常数的值 解：由题意得 即 解得48、（2007）求证：当时，证法一 令则，当时，从而在上单调递减；当时，从而在上单调递增；所以当时，于是在上单调递增当时，从而在上单调递减，故当时；当时，从而在上单调递增，故当时综上所述，当时，总有，即证法二 令，显然，在上连续， 由于，故在上单调递增，于是，当时， 即，又，故 当， 即，又，故综上所述，当时，总有单元练习题21 。2= 。3设，确定，则= 。4若在可导，且为其极大值，则曲线在点）处的切线方程是 。5如果满足，且，则= 。6函数的极值点为 ，它的图形拐点为： 。7的渐进线为： ，垂直渐进线为： 。8 设二阶可导，且，又，则与相差是 。9 由确定，则 。10函数的凹区间为 。11. 。12则 。13函数f为可导函数，则，则= 。14函数由方程所确定，则曲线在点（0，1）处的切线方程为： 。15 设在处可导，则（A） (B) 为任意实数（C） （D）为任意实数16设函数在处可导，则函数的绝对值在处不可导的充分条件是： （A） （B） （C） （D） 17,则使存在的最高阶导数为: （A） （B） （C） （D）18则下列正确的是： （A） （B） （C） （D） 19曲线的凸区间为：（A） （B）（C） （D）20函数在区间上满足罗尔定理的（ ）（A） （B） （C） （D）21设，且极限存在，则（ ）（A） (B) (C ) (D) 22. 设可导，则（A） (B) (C) (D) 23 若直线L与OX轴平行，且与曲线相切，则切点坐标为：（ ）（A） (B) (C) (D) 24.设，则下列式中正确的是（） （A） (B) (C) (D) 不存在25.设,求.26.,求27.,求28.设由确定,求29.,求30.设已知二阶可导函数,求的二阶导数.31.,求.32.,求33.设曲线,由方程组确定，求该曲线在时的斜率。34.,求.35.,求.36.,求.37.,求 .38.，求.39.,求.40.，求.41.,（1）求, （2）求在处是否连续.42.方程确定,求43.设，求。44.，其中具有二阶连续导数，且求（1）；（2）讨论的连续性。45.证明曲线，的切线介于坐标轴之间的长度为一常数.46.已知,求.47.已知,其中有二阶连续导数,且.（1）确定值，使在处连续；（2）求。48设有二阶连续导数，且，。证明：有一阶连续导数。49求下列极限（1） （2） （3）（4） （5） （6）50证明下列不等式（1）当时，（2）当时，（3）当时，（4）当时，（5）当时，（6）设，证明不等式51分析函数的单调性、凹凸性、极值、拐点及渐近线。52分析函数的单调性、凹凸性、极值、拐点及渐近线。53求内接于半径为的半圆的矩形的最大面积。54已知三角形高，底边长为，求一边落于底边的内接矩形的最大面积。55把一根长为的铅丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问这两段铅丝各多长时，圆形面积与正方形面积之和最小？56用面积为的一块铁皮做一个有盖圆柱形油桶，问油桶直径为多长时，油桶的容积最大？又这时油桶的高是多少？图示2.657已知、两地相距30公里，如下图所示。在它们之间铺设一条管道，由于地质条件不同，在地区，铺设管道费用为元/公里，在地区，铺设管道费用为元/公里。求最经济的铺设路线。58在直角坐标系的第一象限内作的切线，使其与两坐标轴所构成的三角形面积最小，求切点坐标。59一商家销售某种商品价格，其中为销售量（单位：），商品的成本是（百元）（1）若每销售商品，政府要征税（百元），求商家获得最大利润是的销售量？（2）商家获得最大利润前提下，为何值时，政府的税收总额最大？ 章节测试1. ，则 ， 。2，则。3在点 处的切线方程 。4. 。5已知是 的极值点，则。6的拐点是 。7曲线 的渐近线是 ， 的水平渐近线是 。8设函数，则方程有（ ） A 一个实根 B两个实根 C三个实根 D无实根9在上的极小值为（ ） A0 B1 C 2 D不存在10函数（ ） A没有拐点 B有一个拐点 C有两个拐点 D有三个拐点11函数（ ）A只有水平渐进线 B只有铅直渐近线C没有渐近线 D有水平并有垂直渐近线12函数的极小值为（ ）A0 B1 C2 D313在区间-1，1上，下列函数不满足罗尔定理的是（ ）A B C D14是函数在点处有极值的一个（ ） A必要条件 B充要条件 C充分条件 D无关条件15在区间（0，4）内（ ） A上凹 B下凹 C既有上凹又有下凹 D直线段16下列条件中，对一切均成立的是（ ） A B C D17设，若存在，且，则（ ） A B 18下列函数在点处连续且可导的是（ ） D19. 20. ，求。21. ，求22. ，求23. ，求24. ,求25. ，求26. ，求27. ，求28. ，求29. ，求30. 求31. 32. 33. 分析的单调性、凹凸性、极值、拐点34. 讨论函数在点处是否可导？有没有极值？如果有求出其极值。35. 设生产某种产品个单位时，成本函数为（万元/单位）。当=？时，平均成本最小？36. 某厂生产某产品，年产量为（百台），总成本(万元)，其中固定成本为2万元，每产100台成本增加1万元，市场上每年可销售此种产品4百台，其销售总收入是的函数，。问每年生产多少台时总利润最大？37. 某工厂每天生产台袖珍收音机总成本为（元），该种收音机独家经营，市场需求规律为，其中为单价，问每天生产多少台时获利最大？此时每台收音机价格如何？38. 求函数在区间上的最大值与最小值。39试证：若，则40设，证明：41证明不等式： ，（）。单元练习题2答案1、，2、，3、，4、，5、16、，7、，8、，9、，10、，11、12、，13、，14、15、，16、，17、，18、B，19、，20、，21、，22、，23、，24、25、，26、，27、28、，29、30、解： 31、解：设，32.33. 解：， 34. 解：， 35. 用莱布尼茨公式。36. 37. 解： ，。所以 不存在。38、解，因 故不存在39、解：40、解：故，不可导;时，不可导41、解（1），故（2）不存在故在处不连续42、解，方程两边对求导 对（*）两端再次对求导，得43、解：，函数在时间断，故时，不可导。44、解：（1）， （2）当时，由的连续性知连续在处连续。综合得在上处连续。45证明：设切点为且满足，切线方程为令得，令得。切线于坐标轴之间的长度：46解：，47解：（1）由处连续，可知（2）当时，48解：当时，在处连续 因所以，故在=0处连续。综上所述g(x)有一阶连续导数。49(1).原式=. （2）原式= (3) 原式= (4) 原式=。 (5)原式=。 (6) 原式= 。50、(1) 在区间1,1+x上满足拉格朗日中值定理条件,故存在,使得:所以，。(2) 在区间a,b上满足拉格朗日定理条件,故存在,使所以,（3）令，。故在上严格单调上升，即原命题得证。（4）令，所以在时严格单调上升，可知，即原命题得证。（5）令因为是偶函数，故只需考虑，（由例题结论），故在上严格单调上升，故原命题得证。（6）令，得，可得，故在区间上，时，。51、解：（1）定义域：，垂直渐近线：。 （2）。（3）得， 无解，时，不存在（4）列表 拐点极值52（1），由解得（2）列表拐点拐点极大值53.解：设长为2x，由勾股定理 图示2.7由得，解得（负舍去