高一数学 二次函数的性质和图象课件必修1.ppt

2 2 2二次函数的图象和性质 二次函数是初等函数中的重要函数 在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用 在高中数学的学习中对二次函数的知识要做必要的提高和加深 二次函数与一元二次方程 一元二次不等式的关系十分密切 揭示和认识它们的相互联系 以求相互为用 具有重要的意义 学习二次函数 首先要掌握它的定义 图象和性质 要会在各种条件下 应用待定系数法确定二次函数的解析式 要灵活应用二次函数的图象和性质分析问题和解决问题 深刻领会数形结合 函数方程等重要数学思想方法 对拓宽学生解题思路 发展智力 培养能力 具有十分重要意义 函数y ax2 bx c a 0 叫做二次函数 它的定义域是r 特别地 当b c 0时 则二次函数变为y ax2 a 0 它的图象是顶点为原点的抛物线 a 0时 开口向上 a 0时 开口向下 这个函数为偶函数 y轴为图象的对称轴 对于任意一个特殊的二次函数y ax2 当x的绝对值无限地逐渐变小时 函数值的绝对值也随着无限地变得越来越小 其图象就从x轴的上方 或下方 无限地逼近x轴 在同一坐标系中 对于函数y ax2 当a的绝对值逐渐变大时 它的图象为抛物线且开口逐渐变小 y ax 2 gsp 例1 研究函数的图像与性质 解 1 配方得 所以函数y f x 的图像可以看作是由y x2经一系列变换得到的 具体地说 先将y x2的图像向左移动4个单位 再向下移动2个单位得到 y c x 4 2 2 gsp 2 函数与x轴的交点是 函数与y轴的交点 函数的对称轴是x 4 事实上如果一个函数f x 满足 f h x f h x 那么函数f x 关于x a对称 6 0 和 2 0 0 6 3 函数图像的对称性质 4 函数f x 在 4 上是减函数 在 4 上是增函数 5 函数f x 在x 4时 取得最小值 2 记为ymin 2 它的图象顶点为 4 2 例2 试述二次函数f x x2 4x 3的性质 并作出它的图象 1 配方得f x x 2 2 7 由 x 2 2 0得 该函数对任意实数x都有f x 7 当且仅当x 2时取等号 即f 2 7 这说明函数f x 在x 2时取得最大值7 记为ymax 7 所以函数图象的顶点时 2 7 2 求函数图象与x轴的交点 令 x2 4x 3 0 解得x1 2 x2 2 说明函数的图象与x轴的交点坐标是 2 0 2 0 3 画函数f x x2 4x 3的图象 因为f x x 2 2 7 所以它的图象是由y x2的图象向左平移2个单位后 再向上平移7个单位得到 y x a 2 b gsp 4 函数f x x 2 2 7关于直线x 2成轴对称图形 在区间 2 上是增函数 在区间 2 上是减函数 二次函数的性质 一般地 对于二次函数f x ax2 bx c 都可以通过配方化为 其中 1 函数的图象是一条抛物线 抛物线的顶点坐标是 h k 抛物线的对称轴是直线x h 2 当a 0时 抛物线开口向上 在x h处取最小值ymin k f h 在区间 h 上是减函数 在 h 上是增函数 3 当a 0时 抛物线开口向下 在x h处取最大值ymax k f h 在区间 h 上是增函数 在 h 上是减函数 例3 求函数y 3x2 2x 1的值域和它的图象的对称轴 并说出它在哪个区间上是增函数 在哪个区间上是减函数 解 因为函数y 3x2 2x 1 3 x 2 所以ymin f 函数的值域是 函数的对称轴是x 它在区间 上是减函数 在区间 上是增函数 例4 已知二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 试判断下列各式的正负号 ab ac a b c a b c 2a b 2a b 解 a0 c0 f 1 0 所以a b c 0 f 1 0 所以a b c 0 2a 2a b 0 2a b 0 例5 已知抛物线y 的对称轴是x 2 1 求m的值 并判断抛物线开口方向 2 求函数的最值及单调区间 解 1 因为抛物线的对称轴是x 2 所以 解得m 2 m 1 0 抛物线的开口向上 2 原函数整理得y x2 4x 3 x 2 2 1 所以当x 2时 ymin 1 单调增区间为 2 单调减区间为 2 例6 已知函数f x x2 4x 1 不计算函数值 比较f 1 f 1 f 4 f 5 的大小 解 f x x2 4x 1 x 2 2 3 对称轴是x 2 在区间 2 上是增函数 f 1 f 2 3 f 2 3 f 5 f 1 f 2 1 f 2 1 f 3 所以f 1 f 4 f 1 f 5 例7 已知奇函数f x 的定义域为r 且当x 0时 f x x2 2x 3 求f x 的解析式 解 因为f x 是奇函数 所以f 0 0 当时x0 所以f x x 2 2 x 3 x2 2x 3又f x f x 所以x 0时 f x x2 2x 3 函数f x 奇函数 偶函数关系 gsp 例8 已知二次函数y x2 mx m 2 1 证明 无论m为何值时 函数的图象与x轴总有两个交点 2 m为何值时 这两个交点之间的距离最小 解 1 m2 4m 8 m 2 2 4 0 所以无论m为何值时 函数的图象与x轴总有两个交点 2 设方程的两个解分别为x1 x2 则x1 x2 m x1x2 m 2 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 m2 4m 8 m 2 2 4 所以当m 2时 x1 x2 最小 最小值是2 例9 已知函数f x ax2 bx a b为常数 x 1 1 1 若函数f x 为偶函数 且f 1 1 求a b的值 2 若函数f x 为奇函数 且f 求f x 的值域 1 若函数f x 为偶函数 且f 1 1 求a b的值 解 因为函数f x ax2 bx为偶函数 所以b 0