吉林东北师范大学附属中学高考数学一轮复习解三角形教案理

吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 解三角形教案 理知识梳理：1、直角三角形各元素之间的关系:如图1,在RtABC中，C=900 ，BC=a，AC=b，Ab=c。（1）、三边之间的关系：a2+b2=c2；（勾股定理）（2）、锐角之间的关系：A+B=900（3）、边角之间的关系：（锐角三角函数的定义）：sinA=cosB=ac sinB=cosA=bc ,tanA=1tanB=ab 2、斜三角形各元素之间的关系：如图2，在ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）、三角形内角之间的关系：A+B+C= ；sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC sinA+B2=cosC2； cosA+B2=sinC2；（2）、三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等；即 asinA= bsinB= csinC=2R (2R为外接圆的直径)正弦定理变形：a=2R sinA ；b=2R sinB ；c=2R sinC sinA=a2R ；sinB=b2R ；sinC=c2R； a：b：c= sinA：sinB：sinC a+b+c sinA+sinB+sinC=2R (2R为外接圆的直径)（4）、余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA; b2=a2+c2-2accosB; c2=a2+b2-2abcosC; 余弦定理变形：cosA=b2+c2-a22bc ; cosB=a2+c2-b22ac; cosC=a2+b2-c22ab3、三角形的面积公式：（1）、SABC= 12aha= 12bhb= 12chc（ha，hb，hc分别表示a，b，c三边上的高）（2）、SABC=12absinC=12bcsinA=12casinB（3）、SABC=2R2sinAsinBsinC=abc4R (2R为外接圆的直径)（4）、SABC=ss-as-b（s-c） ；s=12（a+b+c）（5）、SABC=rs（r为内切圆半径，s=12（a+b+c）4、解三角形：由三角形的六个元素（即三个内角和三条边）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其它未知元素的问题叫做解三角形，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等，解三角形问题一般可以分为下面两个情形：若给出是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形为斜三角形，则称为解斜三角形。5、实际问题中的应用。（1）、仰角和俯角：（2）、方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的角。（3）、坡度角：坡面与水平面所成的二面角的度数。（4）、距离、角度的测量测量距离问题；测量高度问题；测量角度问题。二、题型探究探究一：利用正余弦定理解三角形例1: (2014安徽)（本小题满分12分）设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.()求a的值；()求的值.（）因为，所以由正、余弦定理得 因为，所以，（）由余弦定理得由于，所以故例2: 在ABC中，已知a、b、c分别表示A、B、C的对边，已知a，b，c成等比数列，且a2-c2=ac-bc ，求A及bsinBc (600,32)探究二:求三角形的面积例3：已知a、b、c分别表示A、B、C的对边，A，B，C成等差数列，cosA=45 ，b=3（1）、求sinC的值（2）、求ABC的面积。例4：已知ABC三个内角A、B、C成等差数列，其外接圆的半径为1，且有sinA-sinC+ 22 cos(A-C)=22（1）、求A，B，C大小；解：因为三个内角A、B、C成等差数列，所以B=600，sinA-sinC=2cosA+C2cosA-C2,所以sinA-C2=22 ,所以A-C=900 又A+C=1200，所以A=1050 ，B=600，C=150，（2）、求ABC的面积。解：SABC=2R2sinAsinBsinC=3例5：已知ABC三个内角A，B，C成等差数列，三边a、b、c成等比数列，证明：ABC为正三角形。探究三：判断三角形的形状例5：在ABC中，已知asinA=bsinB，试判断三角形的形状；例6：在ABC中，已知acosA=bcosB，试判断三角形的形状；例7：在ABC中，已知acosB=bcosA，试判断三角形的形状；探究四：正余定理的实际应用(2014上海)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.（1） 设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2） 施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？【解析】(1).三、方法提升：（1）、解斜三角形的常规思维方法：已知两角和一边，可先用正弦定理解；已知两边和夹角，先用余弦定理，之后再用正弦定理；已知两边及一边所对的角，应用正弦定理，再由正弦定理或余弦定理求解，这种情况要结合图形讨论解的情况；已知三边，用余弦定理。（2）、三角形的内切圆半径R=2SABCa+b+c ，特别地，R直=a+b-c斜2（3）、三角形中中射影定理（4）、两内角与正弦关系：在ABC中，ABsinAcosA+cosB+cosC; tanAtanBtanC1四、反思感悟 五、课时作业正弦、余弦定理的应用一、选择题（每小题6分，共60分）1在ABC中，“”是“”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2ABC中，A，B的对边分别为a,b，且A=60，那么满足条件的ABC（ ）A有一个解 B有两个解 C无解 D不能确定3在三角形中, 如果, 那么这个三角形是 （ ）A直角三角形 B 锐角三角形 C钝角三角形 D 直角三角形或钝角三角形4已知中，那么角等于 （ ）ABCD5的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则A B C D6在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=,a=,b=1，则c= ( )A 1 B 2 C 1 D 7在中，AB=3，AC=2，BC=，则 ( )A B C D8在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2ac,则角B的值为 （ ）A. B. C.或 D.或9设A是ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是（ ）Aa3 Ba1 C1a3 Da010在ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且ABC，则的取值范围是（ ）ABC D题号12345678910答案二、填空题（本大题共4小题，每题6分，共24分）11在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知 则A 12在ABC中,若B=300，AB=2，AC=2，则ABC的面积S是 13ABC的内角的对边分别为，若，则 14在ABC中，已知AB=l，C=50，当B= 时，BC的长取得最大值.三、解答题（15、16、17题每题16分，18题18分，共66分）15已知的周长为，且（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数16在中，角的对边分别为（1）求；（2）若，且，求.17在中，内角对