第一课时　利用导数研究函数的单调性.docVIP

第11节导数在研究函数中的应用第一课时利用导数研究函数的单调性【选题明细表】知识点、方法题号判断或证明函数的单调性、求单调区间1,3,6,14已知函数的单调性求参数的取值范围2,4,8,10,12,13利用导数研究函数单调性的综合问题5,7,9,11,15基础巩固(时间:30分钟)1.函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(D)(A)(-,0) (B)(0,+)(C)(-,-3)和(1,+)(D)(-3,1)解析:y=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3),由y0x2+2x-30-3xf(e)f(3)(B)f(3)f(e)f(2)(C)f(3)f(2)f(e)(D)f(e)f(3)f(2)解析:f(x)的定义域是(0,+),f(x)=1-lnxx2.所以x(0,e)时,f(x)0;x(e,+)时,f(x)f(3)f(2).故选D.4.导学号 94626083设函数f(x)=12x2-9ln x在区间a-1,a+1上单调递减,则实数a的取值范围是(A)(A)(1,2 (B)4,+) (C)(-,2 (D)(0,3解析:f(x)=x-9x,当f(x)=x-9x0时,00,a+13,解得10,-t-1,或t0,故选项D正确.故选D.7.定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f(x)1,f(0)=4,则不等式exf(x)ex+3(其中e为自然对数的底数)的解集为(A)(A)(0,+) (B)(-,0)(3,+)(C)(-,0)(0,+)(D)(3,+)解析:设g(x)=exf(x)-ex,xR,则g(x)=exf(x)+exf(x)-ex=exf(x)+f(x)-1,因为f(x)+f(x)1,所以f(x)+f(x)-10,所以g(x)0,所以y=g(x)在定义域上单调递增,因为exf(x)ex+3,所以g(x)3,又因为g(0)=e0f(0)-e0=4-1=3,所以g(x)g(0),所以x0.故选A.8.已知函数f(x)=-12x2+4x-3ln x在t,t+1上不单调,则t的取值范围是.解析:由题意知f(x)=-x+4-3x=-x2+4x-3x=-(x-1)(x-3)x,由f(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间t,t+1上就不单调,由t1t+1或t3t+1,得0t1或2t0时,xf(x)+f(x)0,且f(1)=0,则不等式f(x)0的解集为(C)(A)(-1,0)(0,1)(B)(-1,0)(1,+)(C)(-,-1)(1,+)(D)(-,-1)(0,1)解析:设g(x)=xf(x),则g(x)=xf(x)=f(x)+xf(x)0恒成立.所以函数g(x)在区间(0,+)上是增函数,因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以g(x)=xf(x)是R上的奇函数.所以函数g(x)在区间(-,0)上是增函数.因为f(1)=0,所以f(-1)=0;即g(-1)=0,g(1)=0,所以当x0时,不等式f(x)0等价于g(x)0,即g(x)g(1),即x1;当x0等价于g(x)0,即g(x)g(-1),即x0,则函数g(x)在定义域内单调递增,g(x)min=g(1)=3,由恒成立的结论有实数b的取值范围是(-,3.故选C.11.(2017吉林省实验中学期中)函数f(x)=ex+1x(x0),若x0满足f(x0)=0,设m(0,x0),n(x0,+),则(C)(A)f(m)0,f(n)0,f(n)0(C)f(m)0 (D)f(m)0,f(n)0)是增函数,f(x0)=0,所以若0mx0,则f(m)0.故选C.12.已知函数f(x)=ln x-12ax2-2x(a0)存在单调递减区间,则实数a的取值范围为.解析:f(x)=-ax2+2x-1x(x0),依题意,得f(x)0在x0时有解.所以a1x2-2x=(1x-1)2-1.所以a-1,又a0,所以-1a0.答案:(-1,0)(0,+)13.导学号 94626089(2017南京三模)函数f(x)=ex(-x2+2x+a)在区间a,a+1上单调递增,则实数a的最大值为.解析:f(x)=ex(-x2+2x+a),f(x)=ex(-x2+a+2),若f(x)在a,a+1上单调递增,则-x2+a+20在a,a+1上恒成立,即a+2x2在a,a+1上恒成立,若a0,y=x2在a,a+1上单调递增,y=x2的最大值是(a+1)2,故a+2(a+1)2,解得00,x0,e是自然对数的底数.讨论f(x)的单调性.解:f(x)=exx-(ex-a)x2-ax=(x-1)ex+ax2-axx2=1x2(x-1)ex+a-ax=1x2(x-1)(ex-a).当0a,当x(0,1)时,f(x)0;所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.当1ae时,令ex=a,得x=ln a(0,1),由f(x)0得ln ax0得0x1,所以f(x)在(0,ln a),(1,+)上单调递增,在(ln a,1)上单调递减.当a=e时,f(x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增.当ae时,令ex=a,得x=ln a(1,+),由f(x)0得1x0得0xln a,所以f(x)在(0,1),(ln a,+)上单调递增,在(1,ln a)上单调递减.综上,当0a1时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,当1ae时,f(x)在(0,1),(ln a,+)上单调递增,在(1,ln a)上单调递减.15.导学号 94626091(2018福建漳州八校联考)已知函数f(x)=12x2-(3+m)x+3mln x,mR.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)设A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)为函数f(x)的图象上任意不同两点,若过A,B两点的直线l的斜率恒大于-3,求m的取值范围.解:(1)因为函数f(x)=12x2-(3+m)x+3mln x,mR,所以f(x)的定义域为(0,+),所以f(x)=x-(3+m)+3mx=x2-(3+m)x+3mx=(x-3)(x-m)x,若m0,则当x3时,f(x)0,所以f(x)为(3,+)上的单调递增函数;若m=3,因为f(x)=(x-3)2x0恒成立,所以当x0时,f(x)为增函数,所以f(x)为(0,+)上的单调递增函数;若0m3,当0x0,则f(x)为(0,m)上的单调递增函数,当x3时,f(x)0,则f(x)为(3,+)上的单调递增函数;若m3,当0x0,则f(x)为(0,3)上的单调递增函数,当xm时,f(x)0,则f(x)为(m,+)上的单调递增函数.综合可得,当m0时,函数f(x)的单调递增区间是(3,+),当0m3时,函数f(x)的单调递增区间是(0,3),(m,+).(2)依题意,若过A,B两点的直线l的斜率恒大于-3,则有f(x1)-f(x2)x1-x2-3不妨设0x1x2,f(x1)-f(x2)-3(x1-x2),即f(x1)+3x1-3恒成立,所以函数g(x)=12x2-mx+3mln x在